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数学竞赛团队题解答与分析.pdf

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    13thAnnualHarvard-MITMathematicsTournament

    Saturday20February2010

    TeamRoundB

    1.[10]Howmanywaysaretheretocepawnsonan88chessboard,sothatthereisatmost1pawn

    ineachhorizontalrow?Expressyouranswerintheformpe1pe2,wheretheparedistinctprimes

    i

    12

    andtheearepositiveintegers.

    i

    Answer:316Ifthereisatmost1pawnineachrow,theneachrowofthechessboardmayhave

    either0or1pawnsomewhereintherow.Thereis1caseiftherearenopawnsintherow.Thereare

    8possiblecasesifthereis1pawnintherow,onecaseforeachsquareintherow.Henceforeachrow,

    thereare9possiblepawnarrangements.Thereare8rows,thuswehave98=316.

    2.[10]Inthefollowingfigure,aregularhexagonofsidelength1isattachedtoasemicircleofdiameter

    1.Whatisthelongestdistanceweenanytwopointsinthefigure?

    Answer:2Inspectionshowsthatonepointmustbeonthesemicircleandtheothermust

    beonthesideofthehexagondirectlyoppositetheedgewiththesemicircle,thebottomedgeofthe

    hexagonintheabovediagram.LetObethecenterofthesemicircleandletMbethemidpointofthe

    bottomedge.

    Wewilldeterminethelongestdistanceweenpointsinthefigurebycomparingthelengthsofall

    thesegmentswithoneendpointonthebottomedgeandtheotherendpointonthesemicircle.Fixa

    pointAonthebottomedgeofthehexagon.SupposethatBischosenonthesemicirclesuchthatAB

    isaslongaspossible.LetCbethecirclecenteredatAwithradiusAB.IfCisnottangentto

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