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相交线与平行线知识点考点典型例题

在初中平面几何的学习中，相交线与平行线是入门的基石，也是后续学习三角形、四边形等复杂图形的基础。深刻理解并熟练掌握这部分知识，不仅能帮助我们解决各类几何问题，更能培养逻辑推理能力和空间想象能力。本文将系统梳理相交线与平行线的核心知识点、常见考点，并通过典型例题的解析，引导同学们深化理解，提升应用能力。

一、核心知识点梳理

（一）相交线

在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种（重合可视为特殊的平行或相交，初中阶段暂不做深入讨论）。当两条直线只有一个公共点时，我们称它们为相交线，这个公共点叫做交点。

1.对顶角与邻补角：

*对顶角：两条直线相交后所得的，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质是对顶角相等。

*邻补角：两条直线相交后，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。邻补角的性质是邻补角互补（即它们的和为180°）。

对顶角和邻补角是相交线形成的最基本的角的关系，是进行角度计算和推理的基础。

2.垂线及其性质：

*垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

*垂线的性质：

*性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（“有且只有”体现了存在性和唯一性）

*性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。

*点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

（二）平行线

1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.平行公理及其推论：

*平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

*推论（平行的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即：若a∥b，b∥c，则a∥c。

3.平行线的判定：判定两条直线平行，可依据以下方法：

*定义法：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线（不常用，多用于反证）。

*同位角相等，两直线平行。

*内错角相等，两直线平行。

*同旁内角互补，两直线平行。

*平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

*在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。（可视为上述方法的特殊情况）

4.平行线的性质：如果两条直线平行，那么：

*同位角相等。

*内错角相等。

*同旁内角互补。

*平行于同一条直线的两条直线平行（即平行公理的推论，也可视为性质）。

*如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。

（注：平行线的“判定”是由角的关系推导出线的平行关系；而平行线的“性质”是由线的平行关系推导出角的关系，两者互为因果，在解题中需灵活运用，注意区分条件与结论。）

5.两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。平行线间的距离处处相等。

二、主要考点提炼

1.对顶角、邻补角的识别与性质应用：主要考查对顶角相等、邻补角互补的性质，用于角度的计算。

2.垂线的性质及点到直线距离的概念：考查“垂线段最短”及“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，常结合实际问题或作图考查。

3.同位角、内错角、同旁内角的识别：这是学好平行线的基础，需要在复杂图形中准确辨认这些角，关键是找出截线和被截线。

4.平行线的判定：根据角的数量关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）来判断两条直线是否平行。

5.平行线的性质应用：已知两条直线平行，利用其性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）来计算角度或进行角的关系转换。

6.平行线的判定与性质的综合应用：这是考试的重点和难点，需要灵活运用判定和性质解决较为复杂的几何推理和计算问题，常需添加辅助线（如作平行线）。

7.简单的实际应用：如利用平行线原理测量距离、解释生活中的一些现象等。

三、典型例题解析

例题1：对顶角与邻补角性质的应用

题目：如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD=135°，求∠BOC、∠AOC的度数。

分析：此题主要考查对顶角和邻补角的性质。首先，∠AOD与∠BOC是对顶角，根据对顶角相等的性质可直接求出∠BOC。∠AOD与∠AOC是邻补角，它们的和为180°，由此可求出∠AOC。

解答：

∵直线AB与CD相交于点O，

∴∠AOD与∠BOC是对顶角，

∴∠BOC=∠AOD=135°（对顶角相等）。

∵∠AOD与∠AOC是邻补角，

∴∠A