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大一高等数学上册期末模拟试题及答案

大一高等数学上册期末模拟试题

考试时间：120分钟满分：100分

一、选择题（每题3分，共15分）

下列函数在定义域内连续的是（）

A.f(x)=\frac{1}{x-1}B.f(x)=\begin{cases}x^2x\geq0\\2xx0\end{cases}

C.f(x)=\sin\frac{1}{x}D.f(x)=\ln(x^2+1)

已知\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2，则f(0)等于（）

A.0B.1C.2D.不存在

函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调递增区间是（）

A.(-\infty,0)\cup(2,+\infty)B.(0,2)

C.(-\infty,1)D.(1,+\infty)

下列不定积分计算正确的是（）

A.\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3B.\int\sinxdx=\cosx+C

C.\inte^xdx=e^x+CD.\int\frac{1}{x}dx=\lnx+C

定积分\int_{-1}^1x^3\cosxdx的值为（）

A.2B.0C.1D.-2

二、填空题（每题3分，共15分）

\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{3x}=_____________

设y=x^2\lnx，则y=_____________

函数f(x)=x^3-3x+1在区间[0,2]上的最大值为_____________

不定积分\intx\sinx^2dx=_____________

定积分\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=_____________

三、计算题（每题10分，共40分）

计算极限\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}

设y=\ln(\cosx)+x^e，求dy

计算不定积分\intxe^{-x}dx

计算定积分\int_0^{\pi}x\cosxdx

四、应用题（15分）

求由曲线y=x^2、直线y=2x所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体体积。

五、证明题（15分）

证明：当x0时，\ln(1+x)\frac{x}{1+x}

参考答案及解析

一、选择题（每题3分，共15分）

D

解析：A选项在x=1处间断；B选项在x=0处，\lim\limits_{x\to0^+}x^2=0，\lim\limits_{x\to0^-}2x=0，但f(0)=0，看似连续，实则导数不连续，且题目问“连续”，D选项\ln(x^2+1)定义域为\mathbb{R}，初等函数连续，故选D。

C

解析：由导数定义，f(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}，已知\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2，隐含f(0)=0，故f(0)=2。

A

解析：f(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f(x)0，得x0或x2，故选A。

C

解析：A选项缺少常数C；B选项结果应为-\cosx+C；D选项定义域含负区间，应为\ln|x|+C，C选项正确。

B

解析：被积函数x^3\cosx是奇函数，积分区间[-1,1]对称，奇函数在对称区间积分值为0。

二、填空题（每题3分，共15分）

e^6

解析：利用重要极限\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^t=e，令t=\frac{x}{2}，则原式=\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{6t}=e^6。

2\lnx+3

解析：一阶导数y=2x\lnx+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\lnx+x，二阶导数y=2\lnx+2x\cdot\frac{1}{x}+1=2\lnx+3。

3

解析：f(x