1.4.1++第3课时+空间中直线、平面的垂直+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

1.4.1第3课时第一章空间向量与立体几何空间中直线、平面的垂直

了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，培养直观想象、数学运算2．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．3．掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离，提升逻辑推理1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，培养数学抽象、直观想象的核心素养.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.

任务一空间中直线和直线的垂直任务二空间中直线和平面垂直任务三空间中平面和平面垂直任务三垂直关系中的探索性问题

任务一空间中直线和直线的垂直

(阅读教材P29，完成探究问题1)问题1．如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？问题导思提示：垂直.

知识点1：空间中直线与直线的垂直设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.微提醒

已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．空间中直线和直线的垂直1例1

规律方法用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤1.基底法：第一步：选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；第二步：把两直线的方向向量用基底表示；第三步：利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；第四步：由方向向量垂直得到两直线垂直.2.坐标法：第一步：根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；第二步：根据所求出点的坐标表示出两直线方向向量的坐标；第三步：计算两直线方向向量的数量积为0；第四步：由方向向量垂直得到两直线垂直.

解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为1，所以OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝，OB＝.因为A，B，C均在坐标轴上，所以A，B，C.因为点A1与C1在Oyz平面内，所以A1，C1.因为点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1＝1，所以B1，即该三棱柱各顶点的坐标为A，B(，0，0)，C，A1，B1，C1.答案不唯一．1对点练

任务二空间中直线和平面垂直

(阅读教材P31-32，完成探究问题2)问题2．观察下图，直线n与平面α平行，u是直线l的方向向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？问题导思提示：平行(重合).

知识点1：空间中直线和平面垂直设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，则l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.微思考只要证明直线的方向向量与平面内的两直线的方向向量的数量积为零，就可以证明直线与平面垂直，对吗？为什么？提示：不对，需证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，才可得出直线与平面垂直..

已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．空间中直线和平面垂直2例2

A.平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0)B.平面A1BC的一个法向量为(1，1，1)C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)D.平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1)变式探究

规律方法用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤1.基底法：第一步：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示；第二步：分别证明它们垂直2.坐标法：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：将直线的方向向量用坐标表示；第三步：找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；第四步：分别计算两组向量的数量积，得到数量积为03.坐标法：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：将直线的方向向量用坐标表示；第三步：求出平面的法向量；第四步：证明直线的方向向量与平面的法向量平行

A.平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0)B.平面A1BC的一个法向量为(1，1，1)C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)D.平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1)2对点练

任务三空间中平面和平面垂直

(阅读教材P29，完成探究问题3)问题3．观察下图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？问题导思提示：垂直.

知识点1：空间中平面和平面垂直设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?n1⊥n2?n1