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2025年初等数论试卷及参考答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.若a和b是正整数，且a除以b的余数为3，则下列哪个选项正确？

A.b能整除a

B.a能整除b

C.a和b互质

D.a除以b的余数可能为0

答案：D

2.下列哪个数是素数？

A.49

B.53

C.57

D.61

答案：B

3.若p是素数，则p的平方是否也是素数？

A.是

B.否

C.有时是，有时不是

D.无法确定

答案：B

4.下列哪个选项正确描述了欧几里得算法？

A.用于求解最大公约数

B.用于求解最小公倍数

C.用于求解素数

D.用于求解平方根

答案：A

5.若a和b是互质的正整数，则它们的最大公约数是多少？

A.1

B.a

C.b

D.a+b

答案：A

6.下列哪个选项是费马小定理的应用？

A.求解最大公约数

B.求解最小公倍数

C.求解同余方程

D.求解平方根

答案：C

7.若a和b是正整数，且a除以b的余数为r，则下列哪个选项正确？

A.b能整除a

B.a能整除b

C.a和b互质

D.a除以b的余数可能为0

答案：D

8.下列哪个选项是欧拉函数的定义？

A.求解最大公约数

B.求解最小公倍数

C.求解素数

D.求解φ(n)

答案：D

9.若p是素数，则p的平方是否也是素数？

A.是

B.否

C.有时是，有时不是

D.无法确定

答案：B

10.下列哪个选项正确描述了中国剩余定理？

A.用于求解最大公约数

B.用于求解最小公倍数

C.用于求解同余方程组

D.用于求解平方根

答案：C

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列哪些数是素数？

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：A,B,D

2.下列哪些选项是欧几里得算法的应用？

A.求解最大公约数

B.求解最小公倍数

C.求解素数

D.求解同余方程

答案：A,B,D

3.下列哪些选项是费马小定理的应用？

A.求解最大公约数

B.求解最小公倍数

C.求解同余方程

D.求解平方根

答案：C

4.下列哪些选项是欧拉函数的定义？

A.求解最大公约数

B.求解最小公倍数

C.求解φ(n)

D.求解素数

答案：C

5.下列哪些选项正确描述了同余的性质？

A.若a≡b(modm)，则a+c≡b+c(modm)

B.若a≡b(modm)，则a-c≡b-c(modm)

C.若a≡b(modm)，则ac≡bc(modm)

D.若a≡b(modm)，则a^c≡b^c(modm)

答案：A,B,C,D

6.下列哪些选项是最大公约数的性质？

A.若d是a和b的最大公约数，则存在整数x和y，使得ax+by=d

B.若a能整除b，则a是a和b的最大公约数

C.最大公约数唯一

D.最大公约数非负

答案：A,B,C,D

7.下列哪些选项是最小公倍数的性质？

A.若l是a和b的最小公倍数，则存在整数x和y，使得lx=ay

B.若a能整除b，则b是a和b的最小公倍数

C.最小公倍数唯一

D.最小公倍数非负

答案：A,B,C,D

8.下列哪些选项是素数的性质？

A.素数大于1

B.素数只有两个正因数

C.素数不能被任何其他正整数整除

D.素数有无穷多个

答案：A,B,C,D

9.下列哪些选项是同余方程的性质？

A.若a≡b(modm)，则ax≡bx(modm)

B.若a≡b(modm)，则a+x≡b+x(modm)

C.若a≡b(modm)，则a-x≡b-x(modm)

D.若a≡b(modm)，则a^x≡b^x(modm)

答案：A,B,C,D

10.下列哪些选项是欧拉函数的性质？

A.φ(1)=1

B.φ(p)=p-1，若p是素数

C.φ(ab)=φ(a)φ(b)，若a和b互质

D.φ(n)是n的所有真因子的个数

答案：A,B,C

三、判断题（每题2分，共10题）

1.若a和b是正整数，且a除以b的余数为0，则b能整除a。

答案：正确

2.1是素数。

答案：错误

3.任何大于1的整数都可以表示为素数的乘积。

答案：正确

4.欧几里得算法可以用于求解任意两个整数的最大公约数。

答案：正确

5.费马小定理适用于所有整数。

答案：错误

6.欧拉函数φ(n)是小于n且与n互质的正整数的个数。

答案：正确

7.中国剩余定理可以用于求解同余方程组。

答案：正确

8.若a和b是互质的正整数，则它们的最