数列综合大题精练30题解析版——2024-2025学年高二数学人教版解题指南_深度解析与实战训练.docxVIP

数列综合大题精练30题解析版——2024-2025学年高二数学人教版解题指南_深度解析与实战训练

一、引言

数列作为高中数学的重要组成部分，在高二数学人教版教材中占据着关键地位。它不仅是高考的重点考查内容，而且对于培养学生的逻辑思维、推理能力和运算能力有着重要的作用。数列综合大题往往融合了数列的通项公式、求和公式、性质以及不等式等多方面的知识，具有较强的综合性和灵活性。通过对数列综合大题的精练和深入解析，能够帮助学生更好地掌握数列的相关知识，提高解题能力和应试水平。本文将对30道数列综合大题进行详细解析，为2024-2025学年高二学生提供一份全面的解题指南。

二、知识点回顾

（一）等差数列

1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母\(d\)表示，即\(a_{n+1}-a_{n}=d(n\inN^{})\)。

2.通项公式：\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，其中\(a_{1}\)为首项，\(d\)为公差。

3.前\(n\)项和公式：\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)。

4.性质：若\(m,n,p,q\inN^{}\)，且\(m+n=p+q\)，则\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)。

（二）等比数列

1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母\(q\)表示\((q\neq0)\)，即\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q(n\inN^{})\)。

2.通项公式：\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)，其中\(a_{1}\)为首项，\(q\)为公比。

3.前\(n\)项和公式：当\(q=1\)时，\(S_{n}=na_{1}\)；当\(q\neq1\)时，\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}\)。

4.性质：若\(m,n,p,q\inN^{}\)，且\(m+n=p+q\)，则\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)。

（三）数列求和方法

1.公式法：直接利用等差数列、等比数列的求和公式进行求和。

2.错位相减法：适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的新数列的求和。

3.裂项相消法：将数列的通项拆分成两项之差，通过累加相消的方法来求和。

4.分组求和法：将数列拆分成几个可以直接求和的数列，然后分别求和。

三、30道数列综合大题解析

题1

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2a_{n}-1(n\inN^{})\)。

（1）求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

（2）设\(b_{n}=\log_{2}a_{n+1}\)，求数列\(\{\frac{1}{b_{n}b_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)。

解析：

（1）当\(n=1\)时，\(S_{1}=a_{1}=2a_{1}-1\)，解得\(a_{1}=1\)。

当\(n\geq2\)时，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2a_{n}-1-(2a_{n-1}-1)\)，

化简得\(a_{n}=2a_{n-1}\)，所以\(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=2\)。

因此，数列\(\{a_{n}\}\)是以\(1\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，根据等比数列通项公式可得\(a_{n}=2^{n-1}\)。

（2）由（1）知\(a_{n+1}=2^{n}\)，则\(b_{n}=\log_{2}2^{n}=n\)。

所以\(\frac{1}{b_{n}b_{n+1}}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)。

则\(T_{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)。

题2

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{3}=5\)，\(S_{6}=36\)。

（1）求数列\(\{