形如函数y=(√x+a)x的图像示意图画法及性质解析B2.docVIP

函数y=eq(18\r(x)+78)*30x的性质及图像

主要内容：

本文主要计算函数y=eq(18\r(x)+78)*30x的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并用导数工具解析函数的单调和凸凹区间，同时简要画出函数的示意图。

※.函数的定义域：

函数中含有根式，则有：x≥0所以函数的定义域为：[0，+∞)。

※.函数的单调性

思路一：通过两个函数单调性来判断。

因为函数y1=eq18\r(x)+78为根式函数，在定义域上为增函数;函数y2=30x为正比例函数，系数为正数，所以也为增函数，则二者函数的乘积y=y1*y2为增函数。

思路二：本题也通过导数知识来解析函数的单调性，步骤如下：

本题通过导数知识来解析函数的单调性，步骤如下：

y=eq(18\r(x)+78)*30x,

对函数自变量求导，得：

eq\f(dy,dx)=30*eq[eq\f(18*x,2eq\r(x))+(18eq\r(x)+78)*1],

=30*eq(eq\f(54,2)eq\r(x)+78)＞0，

所以函数在定义域上为增函数。

※.函数的极限

lim(x→0）eq(18\r(x)+78)*30x=0。

lim(x→+∞）eq(18\r(x)+78)*30x=+∞。

※.函数的凸凹性

∵eq\f(dy,dx)=30*eq(eq\f(54,2)eq\r(x)+78)，

∴eq\f(d2y,dx2)=30*(eq\f(54,2)*eq\f(1,2)*eq\f(1,eq\r(x))),

=30*eq\f(54,4)*eq\f(1,eq\r(x))＞0.

即函数y在定义域上为凹函数。

※.函数的五点图

x

0

0.02

0.09

0.16

0.36

18eq\r(x)+78

78.0

80.5

83.4

85.2

88.8

30x

0

0.60

2.70

4.80

10.80

y

0

48.30

225.18

408.96

959.04

※.函数的示意图

y=eq(18\r(x)+78)*30x

y

(0.36,959.04)

(0.16,408.96)

(0.09,225.18)

(0.02,48.30)