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2025年绵阳市实验高中初升高自主招生考试数学综合考核试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若a、b是方程x^2(a+1)x+b=0的两个实数根，且ab，则a+b的取值范围是（）

A.a+b2

B.a+b2

C.a+b≥2

D.a+b≤2

答案：C

解析：根据韦达定理，a+b=a+b=(a+1)。由于a、b是实数根，根据判别式Δ=(a+1)^24b≥0，得到a^2+2a+14b≥0。又因为ab，所以a+b≥2。

2.已知函数f(x)=x^22x+1，则f(x)的单调增区间是（）

A.(∞,1]

B.[1,+∞)

C.(∞,0]

D.[0,+∞)

答案：B

解析：f(x)=(x1)^2，函数的对称轴为x=1，开口向上。因此，f(x)在[1,+∞)上单调递增。

3.在三角形ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，则∠A的度数是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

答案：D

解析：根据勾股定理，6^2+8^2=10^2，所以∠A为直角。

4.已知数列{an}的通项公式为an=n^2n+1，则该数列的前10项和是（）

A.385

B.390

C.395

D.400

答案：C

解析：数列的前n项和为S_n=1^21+1+2^22+1+...+n^2n+1=(1^2+2^2+...+n^2)(1+2+...+n)+n=(1/6)n(n+1)(2n+1)(1/2)n(n+1)+n。将n=10代入，得到S_10=395。

5.已知函数f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的极值点（）

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=4

答案：B

解析：f(x)=3x^212x+9，令f(x)=0，解得x=1或x=3。将x=1和x=3分别代入f(x)，得到f(1)=0，f(3)=0。因此，f(x)在x=1和x=3处有极值点。又因为f(x)在x=1左侧为正，在x=1右侧为负，所以f(x)在x=1处取得极大值；f(x)在x=3左侧为负，在x=3右侧为正，所以f(x)在x=3处取得极小值。故极值点为x=2。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.已知函数f(x)=(x2)^2+1的最小值是______。

答案：1

2.已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2+n，求an的通项公式是______。

答案：an=2n1

3.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+m^2的取值范围是______。

答案：(0,1]

4.已知三角形ABC中，BC=5，AC=7，AB=9，求∠B的度数是______。

答案：30°

5.已知函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的极值是______。

答案：极大值4，极小值2

三、解答题（共50分）

1.（15分）已知数列{an}的通项公式为an=n^2n+1，求证：数列{an}是单调递增数列。

证明：an+1an=(n+1)^2(n+1)+1(n^2n+1)=2n+1。因为n为正整数，所以2n+10，所以数列{an}是单调递增数列。

2.（15分）已知函数f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的单调递增区间。

解：f(x)=3x^212x+9。令f(x)0，解得x1或x3。所以f(x)的单调递增区间是(∞,1)和(3,+∞)。

3.（20分）在三角形ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，求三角形ABC的面积。

解：由题意知，三角形ABC是直角三角形，所以∠A=90°。根据三角形面积公式，S_△ABC=(1/2)BCAC=(1/2)68=24。所以三角形ABC的面积为24。