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2025单一快拿分精算师题目及答案

单项选择题

1.已知随机变量$X$服从参数为$\lambda=2$的泊松分布，则$P(X=2)$的值为（）

A.$\frac{2}{e^{2}}$

B.$\frac{2}{e}$

C.$\frac{2^{2}}{2!}e^{2}$

D.$\frac{2^{2}}{2!}e^{1}$

答案：C。根据泊松分布的概率质量函数$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{\lambda}$，已知$\lambda=2$，$k=2$，代入可得$P(X=2)=\frac{2^{2}}{2!}e^{2}$。

2.设$X$和$Y$是两个随机变量，且$E(X)=2$，$E(Y)=3$，$E(XY)=7$，则$Cov(X,Y)$等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：A。根据协方差的计算公式$Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)$，将$E(X)=2$，$E(Y)=3$，$E(XY)=7$代入可得$Cov(X,Y)=72\times3=1$。

3.已知一组数据$1,2,3,4,5$，则这组数据的方差为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B。首先计算这组数据的均值$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$。然后根据方差公式$S^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}\overline{x})^{2}$，可得$S^{2}=\frac{(13)^{2}+(23)^{2}+(33)^{2}+(43)^{2}+(53)^{2}}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$。

简答题

1.简述大数定律在精算中的作用。

答案：大数定律在精算中具有极其重要的作用。在保险精算里，保险公司面临众多风险单位。大数定律表明，当试验次数（即保险标的数量）足够多时，实际观测到的结果的平均值会趋近于理论上的期望值。

例如，在人寿保险中，虽然对于单个被保险人来说，死亡时间是不确定的，但当保险公司拥有大量的被保险人时，根据大数定律，被保险人的实际死亡人数会趋近于根据生命表所预期的死亡人数。这使得保险公司能够较为准确地估计理赔成本，合理制定保险费率。如果没有大数定律，保险公司难以对风险进行量化和定价，可能会因为定价不合理导致经营风险，要么保费过高失去市场竞争力，要么保费过低导致亏损。在财产保险等其他保险领域，大数定律同样帮助保险公司基于大量的损失数据来预测未来的损失情况，从而实现稳健的经营。

2.说明风险度量指标VaR（在险价值）的含义及局限性。

答案：VaR（在险价值）是指在一定的置信水平和一定的持有期内，某一金融资产或投资组合所面临的最大潜在损失。例如，在95%的置信水平下，一天的VaR值为100万元，意味着在未来一天内，该资产或组合有95%的可能性损失不会超过100万元。

VaR的局限性主要有以下几点：

缺乏次可加性：在某些情况下，投资组合的VaR可能大于组合中各资产VaR之和，这与分散投资降低风险的理念相悖，不利于投资组合的风险管理和优化。

不能反映尾部风险：VaR只给出了在一定置信水平下的最大潜在损失，对于超出该置信水平的极端损失情况没有提供更多信息。而在金融市场中，极端事件虽然发生概率小，但一旦发生可能会导致巨大损失，VaR无法充分衡量这种尾部风险。

对分布假设敏感：VaR的计算通常依赖于对资产收益率的分布假设，如正态分布等。但实际金融数据往往不满足这些假设，可能存在厚尾现象等，这会导致VaR的计算结果不准确。

计算题

1.某保险公司承保了1000份独立的一年期定期寿险保单，每份保单的保额为10万元。根据生命表，每个被保险人在一年内的死亡概率为0.005。求该保险公司在这一年中理赔总额的期望值和方差。

答案：设$X_{i}$表示第$i$份保单在一年内的理赔金额，$i=1,2,\cdots,1000$。$X_{i}$服从两点分布，当第$i$个被保险人在一年内死亡时，$X_{i}=100000$，概率$p=0.005$；当第$i$个被保险人在一年内未死亡时，$X_{i}=0$，概率$1p=0.995$。

首先求$E(X_{i})$和$D(X_{i})$：

根据期望公式$E(X_{i})=100000\times0.005+0\times0.995=500$。

根据方差公式$D(X_{i})=E(X_{i}^{2})[E(X_{i})]^{2}$，$E(X_{i}^{2})=100000^{2}\times0.005+0^{2}\times0.995=5000000