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数项级数收敛的判别与应用

【摘要】数项级数在整个数学领域中占有极其重要的地位,而研究数项级数最重要则是研究其收敛性,本文结合数项级数收敛的定义、性质,系统地总结出数项级数收敛的常规判别方法,包括Cauchy收敛准则、比较原则、D’Alembert判别法、Cauchy判别法、积分判别法、绝对收敛定理、Leibniz判别法、Abel判别法以及Dirichlet判别法,并给出几种特殊判别方法,包括等价无穷小替换、Taylor公式、Raabe判别法、对数判别法、双比值判别法、Gauss判别法,强调Abel判别法以及Dirichlet判别法的内在联系,并借助三类级数的收敛速度快慢延伸出判别法之间的强弱