平面与平面垂直判定方法.pdfVIP

例1如图所示，在四面体ABCD中，BD＝2

a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.

求证：平面ABD⊥平面BCD.

【分析】作出二面角的平面角，通过计算这

个角为90°来证明两平面垂直．

•【证明】∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，

•∴△ABD与△BCD是等腰三角形，

•∴取BD的中点E，连结AE、CE，则

AE⊥BD，BD⊥CE.

•∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．

12

＝，

在△ABD中，AB＝a，BE＝BDa

22

2

∴AE＝AB2－BE2＝a.

2

22

同理CE＝.在△AEC中，AE＝CE＝，

2a2a

•AC＝a，

222

•∴AC＝AE＋CE，

•∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，

•即二面角A－BD－C的平面角为90°.

•∴平面ABD⊥平面BCD.

•【规律方法】利用定义证两平面垂直的

基本思路是作出二面角的平面角，计算二

面角的平面角为90°.此法较适合由等腰或

等边三角形构成的几何体．

•变式1如图，过S点引三条长度相等但不

共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC

＝60°，∠BSC＝90°.

•求证：平面ABC⊥平面BSC.

•证明：取BC的中点D，由SA＝SB＝SC，

∠ASB＝∠ASC＝60°，

•可得AB＝AC＝SA；连接SD，AD，

•则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角

A－BC－S的平面角，

又∵∠BSC＝90°，令SA＝1，

2

2

则SD＝AD＝，

2，2

∴SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，

∴平面ABC⊥平面BSC.

•要点二面面垂直的判定定理的应用

•利用面面垂直的判定定理．具体作法是在

其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的

直线．

•例2如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平

面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是

EA的中点．求证：

•(1)DE＝DA；

•(2)平面BDM⊥平面ECA；

•(3)平面DEA⊥平面ECA.

•【分析】由题目可获取以下主要信息：

•①EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC；

•②△ABC是等边三角形，CE＝CA＝2BD，

ME＝MA.

•解答本题(1)，只要证明三角形全等，(2)注

意M为EA的中点，可取CA的中点N，证明

平面ECA的垂线在BDM内，(3)与(2)类似．

•【证明】(1)如图所示，取EC的中点F，

连接DF.

EC⊥平面A