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2025年绵阳市绵中实验中学初升高自主招生考试数学试题解析及答案

一、选择题

1.已知函数$f(x)=x^22x+1$，则下列结论正确的是（）

A.函数在区间（∞，+∞）上单调递增

B.函数在区间（∞，+∞）上单调递减

C.函数的图像是开口向上的抛物线

D.函数的图像是开口向下的抛物线

答案：C

解析：函数$f(x)=x^22x+1$可以写成$f(x)=(x1)^2$的形式，这是一个开口向上的抛物线，其顶点为(1,0)。因此，选项C正确。

2.已知$a^2+b^2=1$，则$a+b$的取值范围是（）

A.[2,2]

B.[1,1]

C.[0,2]

D.[1,2]

答案：D

解析：由于$a^2+b^2=1$，我们可以将$a+b$的平方展开得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=1+2ab$。由于$a^2+b^2=1$，则$1\leqa^2\leq1$和$1\leqb^2\leq1$。因此，$2\leq2ab\leq2$，所以$1\leq(a+b)^2\leq3$。即$1\leqa+b\leq\sqrt{3}$，故选项D正确。

二、填空题

3.已知等差数列的前三项分别为$a$,$b$,$c$，且$a+b+c=12$，$a^2+b^2+c^2=46$，求等差数列的公差。

答案：2

解析：由于$a$,$b$,$c$是等差数列的前三项，我们有$2b=a+c$。根据题目给出的条件，我们可以列出以下方程组：

$$

\begin{cases}

a+b+c=12\\

a^2+b^2+c^2=46\\

2b=a+c

\end{cases}

$$

解得$a=4$,$b=6$,$c=8$。因此，公差$d=ba=64=2$。

4.已知$f(x)=x^36x+9$，求$f(x)$。

答案：$3x^26$

解析：对$f(x)$求导，得到$f(x)=3x^26$。

三、解答题

5.已知$a$,$b$是方程$x^2(2+m)x+1=0$的两个实数根，且$a+b=3$。求实数$m$的取值范围。

答案：$m\in[1,5]$。

解析：根据韦达定理，我们有$a+b=2+m$和$ab=1$。由于$a+b=3$，则$2+m=3$，解得$m=1$。但是，为了使方程有实数根，判别式$\Delta=(2+m)^24\cdot1\cdot1\geq0$。解得$m\in[1,5]$。

6.已知函数$g(x)=\sqrt{1x^2}$，求函数的定义域。

答案：$[1,1]$。

解析：由于根号下的表达式必须大于等于0，所以$1x^2\geq0$。解得$1\leqx\leq1$。因此，函数$g(x)$的定义域为$[1,1]$。