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2025年大学《整合科学》专业题库——数学建模在气象灾害预警中的应用

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

试卷内容

一、简述数学建模在气象灾害预警系统中的主要作用和意义。

二、简答在构建气象灾害预警模型前，进行数据预处理通常包含哪些关键步骤，并说明每一步的目的。

三、设某地区连续5天的降雨量（单位：毫米）数据分别为：120,145,110,160,130。试用算术平均法和几何平均法计算这5天的平均降雨量。请简要说明这两种方法在应用于此类气象数据时的适用性差异。

四、解释什么是时间序列模型，并简述ARIMA模型的基本原理及其在短期气象预测（如降雨量、气温预测）中的应用优势。

五、比较线性回归模型与逻辑回归模型在气象灾害预警中的应用场景和根本区别。

六、在建立气象灾害预警模型后，为何必须进行模型评价？请列举至少三种常用的模型评价指标，并简述其含义。

七、描述一下利用微分方程模型模拟台风移动路径或强度变化的基本思路。指出该类模型在气象灾害预警中可能面临的挑战。

八、设想一个利用机器学习模型进行雷暴预警的场景。请简述该场景下数据收集的主要方面，并说明选择哪种（或哪几种）机器学习算法可能比较合适，以及选择的主要理由。

九、假设你需要为一个流域构建洪水预警模型。请简述你会如何整合来自气象雷达、气象站、水文站以及历史洪水数据等多源信息，并说明在整合过程中可能遇到的主要困难和解决思路。

十、某气象灾害预警模型预测结果与实际观测结果如下表所示（此处不展示表格，请想象一个包含实际值和预测值的表格），但需说明模型性能尚不理想。请从模型结构、数据质量、外部因素干扰等角度，分析可能导致模型预测准确率低的原因，并提出至少三条具体的改进建议。

试卷答案

一、

数学建模能够将气象灾害相关的复杂现象抽象化为数学问题，通过建立量化模型来模拟灾害的发生、发展和演变过程。这有助于：1）揭示灾害发生的内在规律和影响因素；2）进行定量的灾害风险评估和预警；3）模拟不同预警策略的效果，为决策提供科学依据；4）评估灾害可能造成的损失，为防灾减灾提供支持。

二、

数据预处理通常包含：1）数据清洗：处理缺失值（删除或填充）、异常值（识别和处理）；目的在于保证数据的质量和可靠性。2）数据变换：如归一化、标准化、对数变换等；目的在于改善数据的分布特性，消除量纲影响，提高模型效果。3）数据降维：如主成分分析；目的在于减少数据复杂性，去除冗余信息，提高模型效率。4）特征工程：构建新的、更有预测能力的特征变量；目的在于增强模型的表达能力。

三、

算术平均法：(120+145+110+160+130)/5=665/5=133毫米。

几何平均法：((120*145*110*160*130)^(1/5))≈127.2毫米。

适用性差异：算术平均法简单直观，适用于数据呈对称分布且无极端值的情况；几何平均法适用于数据之间存在乘积关系或增长率需要考虑的情况，对极端值不敏感，更适用于对比例或百分比数据的平均，如增长率。

四、

时间序列模型是基于时间顺序排列的数据，研究数据随时间变化的模式、趋势和季节性，并用于预测未来值。ARIMA（自回归积分移动平均）模型是常用的时间序列模型，它包含自回归（AR）项（模型利用过去的数据项来预测未来的值）、差分（I）项（使序列成为平稳序列所需的差分期数）和移动平均（MA）项（模型利用过去的预测误差来修正未来的预测值）。其应用优势在于能够有效捕捉气象序列中的自相关性、趋势和季节性，进行短期预测。

五、

线性回归模型假设因变量与自变量之间存在线性关系，输出通常是连续值，适用于预测降雨量、气温等连续型气象要素的数值。逻辑回归模型输出是概率值（0到1之间），适用于分类问题，如判断是否会发生雷暴、是否超过某个预警阈值等。根本区别在于模型形式、输出类型及适用场景：线性回归用于预测连续量，逻辑回归用于判断二元或多元分类。

六、

必须进行模型评价，因为模型的好坏不仅取决于其数学形式，更取决于其预测或解释的实际问题的能力。模型评价有助于：1）检验模型的拟合优度，即模型对历史数据的解释程度；2）评估模型的预测精度，即模型对未来数据的预测能力；3）比较不同模型的优劣，选择最适合当前问题的模型；4）识别模型的局限性，为模型改进提供方向。常用的评价指标有：1）均方误差（MSE）或均方根误差（RMSE）：衡量预测值与实际值之间差异的平均程度，越小越好。2）决定系数（R2）：衡量模型对数据变异性的解释程度，取值在0到1之间，越接近1越好。3）平均绝对误差（MAE）：衡量预测误差的平均绝对值，更稳健，越小越好。

七、

利用微分方程模型模拟台风移动路径，通常建立包含台风中心位置、速度、加速度等变量的方程组（如运动学方程），并结合科里