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2025年初中数学代数思维拓展与训练试卷

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.若实数a满足a+|a|=0，则a的取值范围是（）

A.a0B.a0C.a=0D.a≤0

2.已知x2-2x=1，则代数式(x-1)2+x(x+1)的值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.不等式组的解集是（）

A.x2B.x1C.1x2D.x1或x2

4.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

A.m1B.m≠1C.m1D.m1且m≠1

5.已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示（此处无图，但需根据题意理解），且a0，b0，c0，则下列结论正确的是（）

A.b2-4ac0B.abc0C.2a+b0D.a+b+c0

6.若一个等差数列的前n项和为Sn，且S?=9，S?=36，则该数列的公差d为（）

A.3B.4C.5D.6

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡对应位置。）

7.若分式的值为0，则x的值为________。

8.已知实数x满足x2-3x+1=0，则x2+1+=________。

9.不等式|2x-1|3的解集是________。

10.用数学归纳法证明“1+3+5+...+(2n-1)=n2”时，第一步应验证n取________时等式成立。

11.若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个公共根，则这个公共根为________。

12.已知函数f(x)=x2-mx+2在区间[-1,3]上的最小值为3，则实数m的值为________。

三、解答题（本大题共6小题，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

13.(本小题满分8分)解不等式组，并写出其整数解。

14.(本小题满分8分)已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程x2-2ax+b2=0和x2-2cx+a2=0都有两个相等的实数根。求证：三角形ABC是等腰三角形。

15.(本小题满分10分)已知二次函数f(x)=x2-2(k+1)x+2k-1。

(1)若函数图像的顶点在直线y=x上，求实数k的值；

(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

16.(本小题满分10分)设数列{a?}的前n项和为S?，且S?=n2+an-n，其中n为正整数。

(1)求数列{a?}的通项公式；

(2)设b?=a?/(2n+1)，求数列{b?}的前n项和S?。

17.(本小题满分12分)已知函数g(x)=x2-mx+m-1。

(1)求函数g(x)的图像的对称轴方程；

(2)若函数g(x)在区间[1,3]上的值恒大于0，求实数m的取值范围。

18.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为(0,a)，(a0)。动点P在直线BC上运动，且始终满足∠APB=∠ACB。

(1)求证：∠APC是定值；

(2)设点D为AB的中点，求|PC|2的最小值。

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试卷答案

1.B

解析：由a+|a|=0，得|a|=-a。根据绝对值的性质，a≤0。故选B。

2.C

解析：由x2-2x=1，得x2=2x+1。则原式=(x-1)2+x(x+1)=x2-2x+1+x2+x=(2x+1)+x-2x+1=2x+2=2(x+1)。将x2=2x+1代入，得原式=2((2x+1)+1)=2(2x+2)=4x+4。再由x2-2x=1，得x(x-2)=1，即x2-2x-1=0。解得x=1±√2。若x=1+√2，原式=4(1+√2)+4=8+4√2。若x=1-√2，原式=4(1-√2)+4=8-4√