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2025年大学《数理基础科学-实变函数与泛函分析》考试备考题库及答案解析?

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一、选择题

1.实数集R的勒贝格测度为（）

A.0

B.1

C.+∞

D.无法确定

答案：C

解析：实数集R在勒贝格测度下具有无限的测度，因此其勒贝格测度为+∞。

2.下列函数中，在[0,1]上勒贝格可积的是（）

A.f(x)=1/x

B.f(x)=sin(1/x)

C.f(x)=1

D.f(x)=x^(-1/2)

答案：C

解析：函数f(x)=1在[0,1]上是有界且几乎处处连续的，因此它在[0,1]上勒贝格可积。而f(x)=1/x在x=0处无界，f(x)=sin(1/x)在[0,1]上不绝对连续，f(x)=x^(-1/2)在x=0处无界，这些函数在[0,1]上不可积。

3.设E是可数无限集，则E的勒贝格测度为（）

A.0

B.1

C.+∞

D.无法确定

答案：A

解析：可数无限集的勒贝格测度为0，因为可数无限集可以表示为点列，而点列的测度是0。

4.下列集合中，是勒贝格可测集的是（）

A.所有有理数构成的集合

B.所有无理数构成的集合

C.直线上的所有点构成的集合

D.空集

答案：A

解析：所有有理数构成的集合是可数集，而所有可数集都是勒贝格可测集。所有无理数构成的集合不可测，直线上的所有点构成的集合测度为+∞，空集测度为0。

5.设f(x)是定义在R上的勒贝格可积函数，则|f(x)|也是勒贝格可积的，这个命题（）

A.正确

B.错误

C.无法确定

D.以上都不对

答案：A

解析：根据勒贝格积分的性质，如果f(x)是勒贝格可积的，则|f(x)|也是勒贝格可积的。

6.设E是度量空间X中的勒贝格可测集，则E的补集也是勒贝格可测的，这个命题（）

A.正确

B.错误

C.无法确定

D.以上都不对

答案：A

解析：根据勒贝格可测集的定义，如果E是勒贝格可测集，则其补集E^c也是勒贝格可测的。

7.下列函数中，是连续函数的是（）

A.f(x)=1/x

B.f(x)=sin(1/x)

C.f(x)=x^2

D.f(x)=|x|

答案：C

解析：函数f(x)=x^2在实数域R上是连续的。f(x)=1/x在x=0处不连续，f(x)=sin(1/x)在x=0处不连续，f(x)=|x|在x=0处连续但不可导。

8.设f(x)是定义在[0,1]上的勒贝格可积函数，则f(x)在[0,1]上几乎处处收敛于0的充分必要条件是（）

A.∫[0,1]f(x)dx=0

B.∫[0,1]|f(x)|dx=0

C.f(x)在[0,1]上连续

D.f(x)在[0,1]上有界

答案：B

解析：根据勒贝格积分的性质，f(x)在[0,1]上几乎处处收敛于0的充分必要条件是∫[0,1]|f(x)|dx=0。

9.下列集合中，是可数集的是（）

A.所有实数构成的集合

B.直线上的所有点构成的集合

C.自然数集

D.无理数集

答案：C

解析：自然数集是可数无限集，而所有实数构成的集合和直线上的所有点构成的集合都是不可数的，无理数集也是不可数的。

10.设f(x)是定义在[0,1]上的连续函数，则f(x)在[0,1]上勒贝格可积的充分必要条件是（）

A.f(x)在[0,1]上有界

B.f(x)在[0,1]上单调

C.f(x)在[0,1]上几乎处处连续

D.f(x)在[0,1]上黎曼可积

答案：A

解析：根据黎曼可积与勒贝格可积的关系，如果f(x)在[0,1]上连续，则它在[0,1]上既是黎曼可积的也是勒贝格可积的。而f(x)在[0,1]上有界是f(x)在[0,1]上勒贝格可积的必要条件。

11.下列函数中，在[0,1]上黎曼可积的是（）

A.f(x)=1/x

B.f(x)=sin(1/x)

C.f(x)=x^2

D.f(x)=|x|

答案：C

解析：函数f(x)=x^2在[0,1]上连续，因此它在[0,1]上黎曼可积。f(x)=1/x在x=0处无界，f(x)=sin(1/x)在x=0处震荡激烈，不满足黎曼可积的条件，f(x)=|x|在[0,1]上连续，因此它也在[0,1]上黎曼可积。但在给定的选项中，只有f(x)=x^2是连续的。

12.设E是可数无限集，F是E的子集，则F的勒贝格测度为（）

A.0

B.1

C.+∞

D.无法确定

答案：A

解析：可数无限集及其任何子集的勒贝格测度都为0。

13.下列集合中，不是勒贝格可测集的是（）

A.所有有理数构成的集合

B.