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2025案例细析精算师题目及答案

案例一：寿险费率厘定问题

题目

假设某保险公司计划推出一款5年期定期寿险产品，被保险人年龄为35岁。已知该年龄段每年的死亡率\(q_{35}=0.001\)，\(q_{36}=0.0012\)，\(q_{37}=0.0014\)，\(q_{38}=0.0016\)，\(q_{39}=0.0018\)，预定利率\(i=0.03\)。保险金额为10万元，每年年初缴纳保费，且不考虑费用因素，试计算该定期寿险的年缴纯保费。

答案

1.首先明确纯保费的计算原理：

纯保费是根据保险给付的现值与保费缴纳的现值相等的原则来确定的。对于每年年初缴纳保费的5年期定期寿险，设年缴纯保费为\(P\)。

保费缴纳的现值：因为是每年年初缴纳保费，这是一个期初年金的形式。根据期初年金现值公式\(a_{\overline{n}\rceili}=\sum_{k=0}^{n1}v^{k}\)，这里\(n=5\)，\(v=\frac{1}{1+i}\)，\(i=0.03\)，则\(v=\frac{1}{1.03}\approx0.9709\)。

\(a_{\overline{5}\rceil0.03}=1+v+v^{2}+v^{3}+v^{4}=1+0.9709+0.9709^{2}+0.9709^{3}+0.9709^{4}\)

\(0.9709^{2}\approx0.9426\)，\(0.9709^{3}\approx0.9151\)，\(0.9709^{4}\approx0.8885\)。

\(a_{\overline{5}\rceil0.03}=1+0.9709+0.9426+0.9151+0.8885=4.7171\)。

保险给付的现值：

若被保险人在第1年死亡，给付金额为10万元，其现值为\(100000\timesq_{35}\timesv\)；

若在第2年死亡，先存活1年，概率为\(p_{35}=1q_{35}=10.001=0.999\)，再在第2年死亡，概率为\(q_{36}\)，给付金额10万元的现值为\(100000\timesp_{35}\timesq_{36}\timesv^{2}\)；

若在第3年死亡，先存活2年，概率为\(p_{35}\timesp_{36}=(1q_{35})\times(1q_{36})=0.999\times(10.0012)=0.999\times0.9988=0.9978\)，再在第3年死亡，概率为\(q_{37}\)，给付金额10万元的现值为\(100000\timesp_{35}\timesp_{36}\timesq_{37}\timesv^{3}\)；

若在第4年死亡，先存活3年，概率为\(p_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}=0.999\times0.9988\times(10.0014)=0.999\times0.9988\times0.9986=0.9964\)，再在第4年死亡，概率为\(q_{38}\)，给付金额10万元的现值为\(100000\timesp_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesq_{38}\timesv^{4}\)；

若在第5年死亡，先存活4年，概率为\(p_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesp_{38}=0.999\times0.9988\times0.9986\times(10.0016)=0.999\times0.9988\times0.9986\times0.9984=0.995\)，再在第5年死亡，概率为\(q_{39}\)，给付金额10万元的现值为\(100000\timesp_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesp_{38}\timesq_{39}\timesv^{5}\)。

保险给付现值\(A=100000\times\left(q_{35}\timesv+p_{35}\timesq_{36}\timesv^{2}+p_{35}\timesp_{36}\timesq_{37}\timesv^{3}+p_{35}\timesp_{36}\timesp_{37}\timesq_{38}\ti