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驻点与拐点的定义及应用解析

一、数学定义

驻点（StationaryPoint）

定义：函数在点处的一阶导数f(x0)=0，则称为驻点。此时函数图像的切线平行于x轴。

分类：

极值点：若，则为局部极大值点；若，则为局部极小值点。

鞍点：若且两侧导数符号不变，则为鞍点（如在处）。

拐点（InflectionPoint）

定义：函数在点处二阶导数，且在该点两侧二阶导数符号相反，则称为拐点。此时函数凹凸性发生改变。

示例：

在处为拐点（凹向上变为凹向下）。

在处为拐点。

二、核心区别与联系

特征

驻点

拐点

判定条件

一阶导数为零

二阶导数为零且变号

几何意义

切线水平

凹凸性转折

必然关系

极值点必为驻点

拐点不一定是驻点

共存情况

可同时为拐点（如）

可同时为驻点（需二阶导为零）

三、应用领域

驻点的应用

优化问题：在机器学习中，梯度下降法通过寻找驻点（梯度为零的点）来最小化损失函数。

经济学：分析成本函数或收益函数的极值点，确定最优生产量或定价策略。

工程学：结构力学中，驻点用于分析应力分布的临界点。

计算机视觉：Harris角点检测算法通过计算图像梯度驻点识别关键特征点。

拐点的应用

趋势分析：识别数据曲线的转折点（如疫情新增病例数的增速变化）。

物理学：分析运动轨迹的加速度变化（如抛物线运动的最高点为加速度方向转折点）。

金融学：预测市场波动，如股票价格从上涨转为下跌的拐点。

生物学：研究种群增长的饱和阶段（如Logistic模型中的拐点）。

四、判定方法与实例

驻点判定

步骤：

求一阶导数f(x)。

解方程f(x)=0。

验证二阶导数f(x)的符号以确定极值类型。

示例：

f(x)=x2，驻点为极小值点（f(0)=20

f(x)=|x|，驻点为极小值点（不可导但左右导数符号变化）。

拐点判定

步骤：

1.求二阶导数。

2.解方程。

3.验证两侧符号是否相反。

示例：

，拐点（，左右符号由负变正）。

，无拐点（二阶导数恒成立）。

五、实际案例分析

经济学中的供需拐点

当商品价格变化率（二阶导数）由正变负时，市场供需达到平衡拐点，此时价格趋于稳定。

医学中的疾病传播模型

通过分析感染人数的二阶导数，预测疫情拐点（增速由升转降），指导防控策略。

材料科学中的应力分析

材料应力-应变曲线的拐点对应屈服强度，标志材料从弹性形变进入塑性形变。

经典例题

例题1：基础多项式函数的极值与拐点分析

题目：求函数f(x)=x

解答步骤：

求一阶导数：令f(x)=0，解得驻点和。

判断极值类型：

二阶导数：f(x)=6x?6。

在处，f(0)=?60，故为极大值点，极大值。

在处，f(2)=60，故为极小值点，极小值。

求拐点：

令f(x)=0，解得。

验证凹凸性变化：

当，f(x)0，函数为凸函数；

当，f(x)0，函数为凹函数。

拐点为(1,f(1))=(1,0)。

图像验证：函数在处有局部极大值，处有局部极小值，拐点位于，图像呈“S”形弯曲。

例题2：含绝对值函数的拐点分析

题目：判断函数f(x)=|x3|

分段讨论：

当，，二阶导数；

当，，二阶导数。

分析凹凸性：

无论或，二阶导数均非负（处二阶导数不存在）。

函数在两侧均为凹函数，凹凸性未改变，故无拐点。

例题3：参数方程确定的函数极值与拐点

题目：求由参数方程，确定的函数的极值点和拐点。解答步骤：

求导数：

一阶导数：。

令，得，对应点。

判断极值：

二阶导数：。

在处，二阶导数不存在，但函数在附近单调变化（左侧时dydx0，右侧时dydx0），故(0,0)为极小值点。

拐点分析：

二阶导数在处不存在，且两侧凹凸性不变（始终为凹），故无拐点。

例题4：高阶多项式函数的拐点个数分析

题目：求函数f(x)=(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的拐点个数。

解答步骤：

展开函数：f(x)=

求导数：

一阶导数：f(x)=4

二阶导数：f(x)=12

解方程：

解方程，利用判别式（其中）：

Δ

因此方程有两个不同的实根，记为。

分析的符号变化：二次函数f(x)=12x2?60x+70的二次项系数，抛物线开口向上

当时，f(x)0（函数下凸）；

当时，f(x)0（函数上凸）；

当时，f(x)0（函数下凸）。

可见，在和处，f(x)的符号由正变负或由负变正，满足“凹凸性变化”的定义。

结论

函数f(x)=(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的二阶导数有2个零点，且每个零点两侧二阶导数符号均改变，因此拐点个数为2。

例题5：含根号函数的拐点分析

题目：判断函