面面垂直的判定习题详细答案.pptVIP

面面垂直的判定习题详细答案;1.理解二面角，面面垂直的概念.

2.掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理.

3.能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题.;1.本课重点是面面垂直的判定定理以及应用.

2.本课难点是二面角的概念的理解以及求法.;

(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形.

(2)相关概念：

①这条直线叫二面角的___，②两个半平面叫二面角的___.;(3)画法：;(5)二面角的平面角:;

(1)定义:两个相交平面，所成的二面角是__________.

(2)画法：通常把直立平面的竖边画成与水平面的_________.

(3)记作：_______________.;

(1)自然语言

条件：一个平面过另一个平面的_____.

结论：两平面______.;(2)图形语言

(3)符号语言

______________.;

(1)二面角的平面角可以度量二面角的大小，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，约定二面角的取值范围是［0,π］，平面角是直角的二面角叫做直二面角.

(2)构成二面角的平面角的三要素

①角的顶点在二面角的棱上；

②角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；

③角的两边分别和二面角的棱垂直.;

(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直〞.

(2)定理的关键词是“过另一面的垂线〞，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.

(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直?线面垂直?面面垂直，这表达了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握.;面面垂直的判定与证明

【技法点拨】证明面面垂直的方法

(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直〞；

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.;【典例训练】

1.(2021·新课标全国高考)如图，三棱

柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB

=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点.

(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC;

(2)平面BDC1分此棱柱为两局部，求这两

局部体积的比.;2.如下图，∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.;【解析】1.(1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，所以BC???平面ACC1A1，

又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，所以∠CDC1=90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC=C，所以DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.;(2)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1，由题意得

V1=

又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1，所以(V-V1)∶V1=1∶1.

故平面BDC1分此棱柱所得两局部体积的比为1∶1.;2.方法一：(利用定义证明)

∵∠BSA=∠CSA=60°，SA=SB=SC，

∴△ASB和△ASC是等边三角形，

则有SA=SB=SC=AB=AC，令其值为a，

则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.

取BC的中点D，如下图，

连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，

∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.;在Rt△BSC中，∵SB=SC=a，∴SD=

BD=.在Rt△ABD中，AD=

在△ADS中，∵SD2+AD2=SA2,∴∠ADS=90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.;方法二：(利用判定定理)

∵SA=SB=SC，且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC，∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.

∵△SBC为直角三角形，∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，∴AD⊥平面SBC.

又∵AD?平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.;【变式训练】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD=E，AD=2，AB=2，BC=6.求证：平面PBD⊥平面PAC.;【解题指导】条件中给出了线面垂直及底面梯形的形状.证明此题的突破口是设法在其中一个平面内找一条直线垂直于另外一个平面.;【证明】∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA.

又tan∠ABD=,tan∠BAC=

∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,

∴∠AEB=90°,即BD⊥AC.

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.

∵BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.;【标准解答】线面