风险理论第四讲.pptVIP

三、理赔次数的混合分布背景：从保单中随意抽取一份保单，求该保单的理赔次数分布。同质性：指所有的保单相互独立，且都有相同的风险水平，即各保单的损失额的分布相同，损失次数的分布也相同。非同质性：保单组合中的每个保单风险水平各不相同。表示其风险水平。第29页，共41页，星期日，2025年，2月5日第1页，共41页，星期日，2025年，2月5日问题的提出个体风险模型的缺点假定单位时间内保单组合理赔的次数是一个随机变量，我们记为N，表示按次序到来的的理赔，设S表示单位时间内的总理赔额，N表示单位时间内的理赔次数，集体风险模型可以描述为第2页，共41页，星期日，2025年，2月5日假定（1）是独立同分布的随机变量（2）N与Xi独立第3页，共41页，星期日，2025年，2月5日我们按如下步骤讨论理赔次数S的分布S的近似分布S的分布数值计算方法第4页，共41页，星期日，2025年，2月5日理赔次数的分布主要内容1、母函数与矩母函数2、一张保单的理赔次数分布3、理赔次数的混合分布4、理赔次数的复合分布5、免赔额对理赔次数分布的影响第5页，共41页，星期日，2025年，2月5日N的母函数与矩母函数设N是一个离散随机变量，取值于0,1,2,…记其母函数为矩母函数为母函数与矩母函数的关系第6页，共41页，星期日，2025年，2月5日母(矩母)函数性质1、若N的母(矩母)函数存在，那么母(矩母)函数与分布函数是相互唯一决定的。2、由母(矩母)函数可以导出矩的计算：第7页，共41页，星期日，2025年，2月5日请问3、设N＝N1+…+Nn,Ni相互独立，则第8页，共41页，星期日，2025年，2月5日二、一张保单的理赔次数分布

?1、泊松分布(Poisson)对于保险公司而言，客户因发生损失而提出理赔的人数类似于等待服务现象，因此对大多数险种来说，个别保单的理赔次数可用泊松分布来表示，即在单位时间内个别保单发生理赔次数N的分布列为：在单位时间内理赔次数N的分布列为第9页，共41页，星期日，2025年，2月5日泊松分布的性质：（1）均值和方差（2）母函数（3）矩母函数?（4）可加性第10页，共41页，星期日，2025年，2月5日定理1：设,是相互独立的泊松随机变量，参数分别为，则服从泊松分布，参数为。证明：故N服从泊松分布，参数为。第11页，共41页，星期日，2025年，2月5日（5）可分解性假设损失事故可以分为m个不同类型C1,…,CmEi表示第i类事故发生。pi表示第i类事故发生的概率，Ni表示第i类事故发生的次数，N表示所有事故发生的次数。?定理2：若N服从参数为l的泊松分布，则N1,N2,…,Nn都是相互独立的，且服从泊松分布，参数分别是lpi，。第12页，共41页，星期日，2025年，2月5日证明：给定N=n，Ni|n服从二项分布B(1,pi)，N1,…,Nn服从多项分布因此其中n＝n1+n2+…+nn第13页，共41页，星期日，2025年，2月5日因此，的联合分布等于Ni分布的乘积，Ni是相互独立的随机变量。第14页，共41页，星期日，2025年，2月5日例1：设N表示损失事故发生的次数，X表示损失额，服从泊松分布，l=10，X～U[0,20]。问损失额超过5的事故发生次数的概率分布。??解：令E表示事件“损失额超过5”所以损失额超过5的次数服从参数为10×0.75=7.5的泊松分布。第15页，共41页，星期日，2025年，2月5日例2：假设某险种的个体保单损失X的分布为??又假设个体保单在一年内发生的损失事件的次数N服从泊松分布，l＝200。Ni表示损失额为i的损失事件的次数。?（1）求的分布。?（2）假设免赔额为1，求个体保单在一年内发生的理赔事件次数的分布。第16页，共41页，星期日，2025年，2月5日解：由于，且N服从泊松分布，由定理知，Ni相互独立且服从泊松分布。参数li等于计算得到?（2）留作课堂练习第17页，共41页，星期日，2025年，2月5日2、其他常见的理赔次数分布（1）负二项分布其中：第18页，共41页，星期