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北京大学高等代数考研真题试卷及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题（每题3分，共15分）

1.下列矩阵中，可逆矩阵是（）。

(A)\(\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\)

(B)\(\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\)

(C)\(\begin{pmatrix}13\\01\end{pmatrix}\)

(D)\(\begin{pmatrix}21\\42\end{pmatrix}\)

2.设\(\mathbf{A}\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(\mathbf{B}\)是\(n\)阶矩阵，则下列等式成立的是（）。

(A)\((\mathbf{AB})^T=\mathbf{A}^T\mathbf{B}^T\)

(B)\((\mathbf{AB})^T=\mathbf{B}^T\mathbf{A}^T\)

(C)\((\mathbf{AB})^k=\mathbf{A}^k\mathbf{B}^k\)，对任意正整数\(k\)

(D)\((\mathbf{AB})^k=\mathbf{B}^k\mathbf{A}^k\)，对任意正整数\(k\)

3.设\(\mathbf{A}\)是\(n\)阶矩阵，\(\mathbf{B}\)是\(n\)阶可逆矩阵，且\(\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}\)，则下列结论成立的是（）。

(A)\(\mathbf{A}\)必可逆

(B)\(\mathbf{A}\)必不可逆

(C)\(\mathbf{A}\)和\(\mathbf{B}\)都可逆

(D)\(\mathbf{A}\)和\(\mathbf{B}\)都不可逆

4.设\(\mathbf{A}\)是\(n\)阶矩阵，且\(\mathbf{A}^2=\mathbf{A}\)，则下列结论成立的是（）。

(A)\(\mathbf{A}\)是可逆矩阵

(B)\(\mathbf{A}\)是零矩阵

(C)\(\mathbf{A}\)是幂等矩阵

(D)\(\mathbf{A}\)是单位矩阵

5.设\(\mathbf{A}\)是\(n\)阶矩阵，\(\mathbf{B}\)是\(n\)阶可逆矩阵，则\(\mathbf{A}\)和\(\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\)的秩（）。

(A)必相等

(B)必不相等

(C)可能相等，也可能不相等

(D)无法确定

二、填空题（每题4分，共20分）

1.设\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，则\(\det(\mathbf{A})=\)。

2.设\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，则\(\mathbf{A}^{-1}=\)。

3.设\(\mathbf{A}\)是\(n\)阶矩阵，且\(\mathbf{A}^3=\mathbf{A}\)，则\(\det(\mathbf{A})\)的可能值为。

4.设\(\mathbf{A}\)是\(3\)阶矩阵，且\(\mathbf{A}\)的特征值为\(1,2,3\)，则\(\det(\mathbf{A})=\)。

5.设\(\mathbf{A}\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(\mathbf{B}\)是\(n\)阶矩阵，则\((\mathbf{AB})^{-1}=\)。

三、计算题（每题10分，共40分）

1.计算行列式\(\det(\mathbf{A})\)，其中\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}\)。

2.解线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=1\\2x_1+5x_2+8x_3=2\\3x_1+8x_2+13x_3=3\end{cases}\)。