高中难的数学题库及答案.docVIP

高中难的数学题库及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(1)=0\)，\(f^\prime(1)=0\)，但\(x=1\)不是函数\(f(x)\)的极值点，则\(abc\)的值为（）

A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)

答案：C

解析：\(f(1)=1+a+b+c=0\)，\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b\)，\(f^\prime(1)=3+2a+b=0\)，由\(x=1\)不是极值点得\(\Delta=(2a)^2-4\times3b=0\)，联立解得\(a=-3\)，\(b=3\)，\(c=-1\)，所以\(abc=-1\)。

2.若\(\vert\vec{a}\vert=2\)，\(\vert\vec{b}\vert=3\)，\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)夹角为\(60^{\circ}\)，则\(\vert\vec{a}-\vec{b}\vert\)等于（）

A.\(\sqrt{7}\)B.\(7\)C.\(\sqrt{19}\)D.\(19\)

答案：A

解析：\(\vert\vec{a}-\vec{b}\vert^2=(\vec{a}-\vec{b})^2=\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2=4-2\times2\times3\times\frac{1}{2}+9=7\)，所以\(\vert\vec{a}-\vec{b}\vert=\sqrt{7}\)。

3.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，则双曲线的离心率为（）

A.\(\frac{5}{3}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{5}{4}\)D.\(\frac{3}{2}\)

答案：A

解析：由渐近线方程\(y=\frac{4}{3}x\)得\(\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}=\sqrt{1+(\frac{4}{3})^2}=\frac{5}{3}\)。

4.设\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geq2\\x-y\leq2\\y\leq2\end{cases}\)，则目标函数\(z=x+3y\)的最大值为（）

A.\(8\)B.\(10\)C.\(12\)D.\(14\)

答案：B

解析：画出可行域，通过平移目标函数直线可得当直线过点\((4,2)\)时，\(z\)取得最大值\(4+3\times2=10\)。

5.已知\(\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})+\sin\alpha=-\frac{4\sqrt{3}}{5}\)，\(-\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt0\)，则\(\cos(\alpha+\frac{2\pi}{3})\)等于（）

A.\(-\frac{4}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(-\frac{3}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)

答案：B

解析：\(\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})+\sin\alpha=\frac{3}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=-\frac{4\sqrt{3}}{5}\)，\(\sqrt{3}\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=-\frac{4\sqrt{3}}{5}\)，\(\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=-\frac{4}{5}\)，\(\cos(\alpha+\frac{2\pi}{3})=\sin(\alpha-\frac{\pi}{6})=-\sin(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{4}{5}\)。

6.已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，\(a_2=2\)，\(a_5=\frac{1}{4}\)，则\(a_1a_2+a_2a_3+\