勾股定理及其逆定理探究与应用.pdfVIP

？

据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根

长绳打上等距离的13个结，然后以3个结

、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉

成一个三角形，其中一个角便是直角．你

知道为什么吗？

画一画

用尺规画△ABC，使其三边长分别为

2.5cm，6cm，6.5cm．

观察你画出的三角形是直角三角形吗？

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验证等式“2.5+6=6.5”成立吗？

换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm，

再试一试．

由此你能猜想到什么呢？

猜想

命题如果三角形的三边长a，b，c满足

222

a+b=c，

那么这个三角形是直角三角形．

命题：如果三角形的一条边的平方等于其

他两条边的平方和，那么这个三角形是直

角三角形.

已知：在△ABC中，ABc，BCa，ACb，

222

并且a+bc，如图（1）.

求证：∠C=90°.

证明作△A’B’C’，使∠C’=90°，A′

A’C’b，B’C’a，如图（2），A

222

那么A’B’a+b.（勾股定理）

222

又∵a+bc，（已知）c

bb

22

∴A’B’c，

A’B’c(A’B’＞0)

在ABC和A’B’C’中，BaCB′aC′

∵BCaB’C’，图（1）图（2）

CAbC’A’，

ABcA’B’，

∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)

∴∠C∠C’=90°，

∴△ABC是直角三角形.

勾股定理的逆定理：

如果三角形的一条边的平方等于其他

两条边的平方和，那么这个三角形是直角

三角形.

互逆定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，

等于斜边的平方.

选例精析

例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

(1)a＝15,b＝8,c＝17(2)a＝13,b＝15,c＝14

像8,15,17这样,如果正整数a、b、c

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满足a+b=c，那么a、b、c叫做勾

股数组.

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般地，设m,n都是正整数，且mn，如果

,,,

am²n²b=2mncm²n²那么a,b,c定是

勾股数组，而且设k为正整数，可知ka，

kb,kc也定是勾股数组.