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第42卷第3期郑州航空工业管理学院学报Vol.42No.3

2024年06月JournalofZhengzhouUniversityofAeronauticsJun.2024

DOI:10.19327/j.cnki.zuaxb.1007-9734.2024.03.015

非线性BBMB方程能量稳定有限元方法高精度分析

王乐乐

（郑州航空工业管理学院数学学院，河南郑州450046）

摘要：文章主要研究非线性Benjamin-Bona-Mahony-Burgers（BBMB）方程的能量稳定全离

H1

散有限元格式的高精度分析。首先，证明了后向Euler全离散格式的能量稳定性，得到了模意义

下有限元解的有界性。其次，利用上述有界性和Brouwer不动点定理证明了离散问题解的存在唯一

性。再次，利用协调双线性元的特殊性质，得到了相应的超逼近和整体超收敛结果。最后，通过数

值试验验证了理论分析的有效性。

关键词：BBMB方程；能量稳定格式；超逼近和超收敛分析

中图分类号:O242.21文献标识码:A文章编号：1007-9734（2024）03-0108-05

［6］

网格法等。在这些方法中，有限元法被认为是求

0引言

解偏微分方程的重要方法。然而，对于BBMB方程，

非线性偏微分方程如Navier-Stokes方程、反应扩目前大多数的研究只关注于一维情况下的收敛性，

散方程、KdV方程等，可以用来描述许多自然现象和对二维情况下的超收敛分析还很少涉及。

工程技术问题。BBMB方程是非线性偏微分方程的众所周知，能量稳定的数值方法既可以保证数值

一种，它结合了Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程解的稳定性又能防止数值振荡。这种方法有助于提

和Burgers方程的特点。其中，BBM方程可以用来描高计算的准确性和可靠性，也适合模拟具有长时间

述长波在浅水层或等离子体中的传播，Burgers方程特性的非线性问题。针对BBMB方程，目前大多数

则用来描述非线性扩散过程。因此，BBMB方程可的能量稳定格式都是基于有限差分方法，关于该方

用于描述具有非线性色散和耗散效应的物理系统。程的能量稳定有限元方法，还少有报道。

本文考虑如下的BBMB方程：此外，在求解非线性偏微分方程时，有限元解在

ì某一种模意义下的一致有界性在收敛和超收敛分析

u-αΔu-βΔu=∇⋅f(u)， (X，t)∈Ω×(0，T]

ïïïïtt［7-10］

íu(X，t)=0，                 (X，t)∈∂Ω×(0，T]   （1）中起着至关重要的作用。例如，文献［7］采用数

ïïïïu(X，0)=u(X)，              X∈Ω学归纳法得到了W1，∞模下数值解的有界性；文献［8］

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