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一元二次方程单元教学设计（三篇）

教案一：课题名称

从现实到符号：一元二次方程的概念建构与建模思维

一、教学目标

知识与技能

学生能准确复述一元二次方程的定义（只含一个未知数，最高次数为2的整式方程），复述准确率≥90%

学会从实际问题中抽象出一元二次方程模型（如面积问题、增长率问题），建模完整率≥85%

能将方程化为一般形式ax^2+bx+c=0并正确识别系数a,b,c，规范率≥70%

过程与方法

通过问题情境→符号抽象→模型验证的路径，建立现实问题数学化的建模思维链

运用类比教学法对比一元一次方程，突出二次项存在的本质差异

数学核心素养

强化数学抽象与模型思想，能主动用方程描述现实规律的学生≥95%

培养严谨规范的符号意识与问题转化能力

二、教学重点与难点

重点

①一元二次方程的概念本质（二次项系数非零、整式方程）

②从实际问题中提取等量关系并列出方程

难点

①理解为什么二次项系数a\neq0的数学规定

②处理实际问题中复杂的数量关系（如连续增长率的平方表达）

三、教学方法

情境导入法、问题驱动法、对比分析法

教学准备

多媒体课件（含建筑设计图、增长率图表）、方程模型卡片、学习单

四、教学过程

（一）生活情境导入：藏在建筑中的数学密码（10分钟）

视觉冲击

展示苏州园林窗格设计图（含矩形镂空图案），提问：设计师如何计算雕花面积？

数据呈现：已知窗格总长8米，中间矩形雕花面积3平方米，如何求长和宽？

旧知唤醒

对比复习：如果是一元一次方程，条件会如何设计？现在多了什么限制？

（二）概念建构深度解析（35分钟）

模型抽象（15分钟）

问题1：矩形面积问题

设长为x米，宽为(4-x)米，得方程x(4-x)=3，展开为-x^2+4x-3=0

追问：为什么不是一次方程？哪一项让它成为二次？

问题2：利润增长问题

商品原价100元，两次涨价后价格121元，平均增长率x满足100(1+x)^2=121

强调：平方运算自然引入二次项，这是现实规律的数学表达

概念辨析（12分钟）

定义归纳：

三个特征：①整式方程②一个未知数③最高次数为2

特别强调：a\neq0（若a=0则退化为一次方程）

反例判断：

下列方程是否为一元二次方程？x^2+\frac{1}{x}=5（否，分式方程）；y^2+2x-3=0（否，两个未知数）

一般形式（8分钟）

规范书写：

移项整理为ax^2+bx+c=0（a≠0），强调二次项系数为正的习惯写法

系数识别训练：给出3x^2-5=2x，指出a=3,b=-2,c=-5

（三）建模实战与应用（20分钟）

分组任务

任务1：设计一个面积问题，使其列出的方程为2x^2-5x+2=0

任务2：分析细胞分裂病毒传播等情境中的二次增长模型

错误诊所

展示学生常见错误：

增长率问题漏写平方→结合树状图直观演示两次增长过程

移项时符号错误→用天平平衡原理类比等式变形

（四）互动交流：方程密码破译站（15分钟）

问题1：为什么一元二次方程要规定a\neq0？（预留8分钟）

引导话术：如果a=0会发生什么？对比一次方程的定义

参考答案：

生1：会变成一次方程

生2：二次项消失，就失去了二次的意义！就像篮球赛规定必须5人上场，少一人就不是完整的比赛，数学定义是为了保证概念的纯粹性

问题2：生活中还有哪些现象需要用二次方程描述？（预留7分钟）

参考答案：

生1：抛物线运动轨迹

生2：围栏设计、储蓄利息计算！比如正方形扩建问题，边长增加x米，面积扩大多少，这些都是二次关系的体现

五、课本讲解（教材节选）

原文内容

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。其一般形式是ax^2+bx+c=0（a,b,c是常数，a≠0）。

知识点分析

数学抽象：从具体问题中剥离出方程的形式特征，忽略实际背景，提炼共同属性

模型思想：强调现实问题→数学模型→方程求解的转化过程，体现数学的工具价值

六、作业设计

基础作业

判断下列方程是否为一元二次方程，并说明理由：

①5x^2=0②3x^3-2x+1=0③(x-1)^2=x^2+5

根据情境列方程：直角三角形两条直角边相差3cm，面积9cm2，求较长直角边x

拓展作业

调查家庭近三年的旅游支出，假设年平均增长率相同，尝试用一元二次方程表