简单复合函数的导数-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册.pptxVIP

5.2.3简单复合函数的导数人教A版（2019）选择性必修二

学习目标1.能求简单复合函数的导数，体现逻辑推理能力（重点）2.会应用复合函数的导数解决实际问题，体现数学计算能力（难点）

1新课导入上一节课我们学习了简单函数的导数和运算法则，根据上面两节课的学习，我们会计算lnx和2x-1的导数，那么如何计算y=ln(2x-1)的导数呢？这节课我们来学习一下.

新课学习34如何求函数y=ln(2x-1)的导数呢？我们先来分析一下这个函数：y=ln(2x-1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.分析一个这个函数的结果特点：若设u=2x-1(x)，则y=lnu.所以?y=ln(2x-1)y=lnuu=2x-1+复合y=ln(2x-1)

新课学习如何求函数y=ln(2x-1)的导数呢？如果把y与u的关系记作y=lnu，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为y=f(u)=y=f(g(x))=ln(2x-1)

新课学习复合函数的概念一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).

新课学习注意：不是任意两个函数都可以复合成一个复合函数.

新课学习很多函数都可以看成时由两个函数经过“复合”得到的.1.y=ln(2x-1)由y=lnu和u=2x-1复合而成2.y=sin2x由y=sinu和u=2x复合而成

新课学习如何求复合函数的导数呢？我们先来研究y=sin2x的导数.我们来猜想一下：函数y=sin2x的导数一定与函数y=sinu，u=2x的导数有关.我们来研究一下：以yx′表示y对x的导数，yu′表示y对u的导数，ux′表示u对x的导数.yx′=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[(sinx)′·cosx+sinx·(cosx)′]=2[cosx·cosx+sinx·(-sinx)′]=2[cos2x-sin2x]=2cos2x另一方面，yu′=(sinu)′=cosu，ux′=(2x)′=2可以发现，yx′=2cos2x·2=yu′·ux′

新课学习复合函数的计算公式一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.复合函数这种求导法则称为“链式法则”.

新课学习例6：求下列函数的导数：(1)y=(3x+5)2;函数y=(3x+5)2可以看作函数y=u3和u=3x+5的复合函数.根据复合函数的求导法则，有yx′=yu′·ux′=(u3)′·(3x+5)′=3u2×3=9(3x+5)2

新课学习例6：求下列函数的导数：(2)y=e-0.05x+1;函数y=e-0.05x+1可以看作函数y=eu和u=-0.05x+1的复合函数.根据复合函数的求导法则，有yx′=yu′·ux′=(eu)′·(-0.05x+1)′=-0.05eu=-0.05e-0.05x+1

新课学习例6：求下列函数的导数：(3)y=ln(2x-1);函数y=ln(2x-1)可以看作函数y=lnu和u=2x-1的复合函数.根据复合函数的求导法则，有yx′=yu′·ux′=(lnu)′·(2x-1)′=2×

新课学习例7：某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为.求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义.它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s.

课堂巩固D

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课堂巩固

课堂巩固esinx·cosx

课堂总结1.复合函数的概念2.复合函数的求导公式

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