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数字信号处理习题及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

设x[n]={1,2,3,4,5},0≤n≤4。计算其能量E[x[n]]。

二、

判断下列系统是否为线性时不变系统。系统方程为：y[n]=n*x[n]。

三、

求序列x[n]={1,-1,2,-2}的Z变换X(z)，并指出其收敛域。

四、

已知系统的差分方程为y[n]-0.5y[n-1]=x[n]，求其单位样值响应h[n]。

五、

将实数序列x[n]=cos(πn/4)+sin(πn/3)表示为复指数序列的线性组合。

六、

计算X(k)={1,2,3,4}的IDFT，得到序列x[n]。

七、

描述FFT算法的基本思想，并说明其与直接计算DFT相比的主要优势。

八、

设计一个FIR数字低通滤波器，技术指标为：截止频率fc=1000Hz，采样频率fs=8000Hz。要求采用矩形窗法，给出滤波器的系统函数H(z)（或差分方程）。

九、

讨论IIR滤波器与FIR滤波器在相位特性、因果性、稳定性、设计方法等方面的主要区别。

十、

已知一个因果稳定系统的系统函数为H(z)=1/(1-0.8z^(-1))。画出其直接型结构框图。

十一、

解释什么是线性相位FIR滤波器，并说明其相位响应具有哪些特性。

十二、

分析用差分方程y[n]=y[n-1]+x[n]描述的离散时间系统是否稳定。

试卷答案

一、

E[x[n]]=Σ|x[n]|^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55

解析思路：序列的能量定义为序列每个样值绝对值的平方和。根据题目给出的序列x[n]，直接计算各项的平方和即可得到能量。

二、

该系统是线性时不变系统。

解析思路：判断线性，设x1[n]→y1[n]，x2[n]→y2[n]，则ax1[n]+bx2[n]→ay1[n]+by2[n]。验证：ax1[n]+bx2[n]→n(ax1[n]+bx2[n])=nax1[n]+nbx2[n]=ay1[n]+by2[n]，满足线性。判断时不变，输入时移k单位，得x[n-k]→y[n-k]，而系统输出应为n(x[n-k])，不等于y[n-k]，故不是时不变系统。但题目问是否LTI，严格来说该系统是非时不变的，但若题目意在考察线性，或存在笔误（应为n*x[n-k]），则可能被认为是线性。根据标准定义，此系统非LTI。

三、

X(z)=Σx[n]z^(-n)=1+(-1)z^(-1)+2z^(-2)+(-2)z^(-3)=1-z^(-1)+2z^(-2)-2z^(-3)

收敛域：|z|0(因为序列是有限长非因果或因果，收敛域总包含|z|→∞，这里非因果形式，收敛域为除原点外整个Z平面)

解析思路：直接根据Z变换的定义，将序列的各项代入求和公式。对于有限长序列，收敛域通常取决于序列的起止点和因果性。此序列非因果，故收敛域为|z|0。

四、

y[n]-0.5y[n-1]=x[n]

系统函数H(z)=Y(z)/X(z)=z/[z-0.5]

h[n]=Z^(-1){H(z)}=Z^(-1){z/[z-0.5]}=δ[n]+0.5δ[n-1]

解析思路：对差分方程两边进行Z变换，利用Z变换的时移性质。Y(z)=H(z)X(z)。解出H(z)，再对其取Z反变换得到单位样值响应h[n]。

五、

x[n]=Re{ej(πn/4)}+Re{e^(jπn/3)}

=Re{ej(πn/4)(cos(πn/3)+jsin(πn/3))}(利用欧拉公式)

=Re{ej(πn/4+πn/3)}(因为cos(πn/4)和sin(πn/3)互为正交分量)

=Re{ej(11πn/12)}

=cos(11πn/12)

解析思路：利用欧拉公式e^(jθ)=cos(θ)+jsin(θ)，将复指数序列分解为实部和虚部。将x[n]中的各项合并，提取公共因子ej(πn/4)，然后利用复数乘法的性质，将剩余部分作为模和辐角放入欧拉公式，取实部即可。

六、

x[0]=ΣX(k)W_N^(-0k)=Σ(1)=4(N=4)

x[1]=ΣX(k)W_N^(-1k)=Σ(1)W_N^(-1k)=1+W_N^(-1)+W_N^(-2)+W_N^(-3)=0

x[2]=ΣX(k)W_N^(-2k)=Σ(1)W_N^(-2k)=1+W_N^(-2)+W_N^(-4)+W_N^(-6)=0