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2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学考试卷及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若实数a满足方程(a2)(a+3)=0，则a的取值范围是（）

A.a≥2

B.a≤3

C.a≥2或a≤3

D.3≤a≤2

答案：C

解析：由方程(a2)(a+3)=0，得a2=0或a+3=0，解得a=2或a=3。因此，a的取值范围是a≥2或a≤3。

2.已知函数f(x)=2x3，若f(a)=1，求a的值。（）

A.2

B.2

C.4

D.4

答案：B

解析：将a代入f(x)，得2a3=1，解得a=2。

3.已知三角形ABC中，a=3，b=4，C=60°，则三角形ABC的面积S=（）

A.3√3

B.4√3

C.6

D.6√3

答案：D

解析：根据海伦公式，S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2。代入a=3，b=4，C=60°，得S=6√3。

4.若a、b、c是三角形的三边长，且a+b+c=6，则a+bc的最大值为（）

A.4

B.5

C.6

D.8

答案：C

解析：根据三角形三边关系，a+bc，a+cb，b+ca。所以，a+bc的最大值出现在a+b=c时，此时a+bc=0。由于a+b+c=6，所以a+bc的最大值为6。

5.已知函数f(x)=x22x+1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值。（）

A.1

B.4

C.7

D.8

答案：C

解析：f(x)是一个开口向上的二次函数，对称轴为x=1。在区间[0,3]上，f(x)在x=3处取得最大值，即f(3)=7。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.已知等差数列{an}的通项公式为an=3n2，求该数列的前10项和。

答案：165

解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2[2a1+(n1)d]，其中a1是首项，d是公差。由题意，a1=1，d=3。代入公式，得S10=165。

7.已知函数g(x)=x24x+3，求g(x)的顶点坐标。

答案：(2,1)

解析：二次函数的顶点坐标为(b/2a，f(b/2a))。代入g(x)的系数，得顶点坐标为(2,1)。

8.已知三角形ABC中，a=5，b=7，C=45°，求三角形ABC的面积。

答案：17.5

解析：根据海伦公式，S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2。代入a=5，b=7，C=45°，得S=17.5。

9.若函数h(x)=2x23x+1在区间[0,2]上的最大值为M，最小值为m，求M+m的值。

答案：3

解析：h(x)是一个开口向上的二次函数，对称轴为x=3/4。在区间[0,2]上，h(x)在x=2处取得最大值，即M=h(2)=3，最小值在x=0处取得，即m=h(0)=1。所以，M+m=3+1=4。

10.已知函数p(x)=x33x+1，求p(x)的导数p(x)。

答案：3x23

解析：根据导数的定义，p(x)=lim(Δx→0)(p(x+Δx)p(x))/Δx。代入p(x)，得p(x)=3x23。

三、解答题（每题15分，共45分）

11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，求数列{an}的通项公式。

解：由等差数列的前n项和公式，得an=SnSn1=2n。又因为a1=S1=2，所以数列{an}的通项公式为an=2n。

12.已知函数f(x)=x24x+c在区间[0,3]上的最大值为5，求c的值。

解：f(x)是一个开口向上的二次函数，对称轴为x=2。在区间[0,3]上，f(x)在x=0处取得最大值，即f(0)=c=5。所以，c=5。

13.已知三角形ABC中，a=3，b=4，C=60°，求三角形ABC的周长。

解：根据余弦定理，c2=a2+b22abcosC。代入a=3，b=4，C=60°，得c=5。所以，三角形ABC的周长为a+b+c=3+4+5=12。