四川大学《概率论与数理统计》课件-第6章.pptVIP

2025/11/191第六章极限定理切比雪夫不等式大数定律中心极限定理

2025/11/192首先介绍:随机变量序列的收敛性定义6.1（依概率收敛）:设则称依概率收敛于a.记为：是随机变量序列，a是一个常数；若对任意ε0,有:

2025/11/193意思是：当a而意思是：时，Xn落在内的概率越来越大。即：,当与的区别。时，毫无例外地有

2025/11/194定理：（独立同分布大数定律）设则注:是相互独立的随机变量序列，且独立同分布大数定律

2025/11/195§6.1.1切比雪夫(Chebyshev)不等式定理6.1设随机变量X的数学期望与方差都存在，则对任意的有或者等价地

2025/11/196可以看出，当E(X)，D(X)已知时，可对发生的概率进行估计.注：从切比雪夫不等式事件

2025/11/197注：可见，当E(X)，D(X)已知时，可对事件发生的概率进行估计.证：我们就连续型的情形给出证明.1.≥1≤

2025/11/198例6.1

2025/11/199例6.1注：由于不知道X的分布，故本题只能采用且比雪夫不等式估计概率，如果X分布已知，估计的概率误差较大。但切比雪夫不等式在理论中有非常重要的应用.

2025/11/1910例1:有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。解:设?表示同时开着的灯的数量，则~

2025/11/1911§6.1.2大数(定)律概率统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验才会呈现出来.大数定律就是描述大量现象平均结果的稳定性的定理.

2025/11/1912首先介绍:随机变量序列的收敛性定义6.1（依概率收敛）:设则称依概率收敛于a.记为：是随机变量序列，a是一个常数；若对任意ε0,有:

2025/11/1913意思是：当a而意思是：时，Xn落在内的概率越来越大。即：,当与的区别。时，毫无例外地有

2025/11/1914定理6.2：随机变量序列切比雪夫不等式的应用若存在，且满足证：由切比雪夫不等式两边取极限即可.

2025/11/1915定理6.3:（切比雪夫大数定律）对于相互独立的随机变量序列,切比雪夫大数定律（1）都存在；若满足（2）方差有限，即存在常数，使得则有前n个随机变量的算术平均

2025/11/1916证:由定理6.2,0考虑随机变量序列

2025/11/1917切比雪夫大数定律的两个推论切比雪夫大数定律独立同分布大数定律伯努利大数定律(特殊情形)(特殊情形)辛钦Khinchine大数定律(推广)

2025/11/1918定理：（独立同分布大数定律）设则注:是相互独立的随机变量序列，且独立同分布大数定律

2025/11/1919推论（伯努利大数定律）设为n重伯努利试验中A发生的次数，则对任给常数有(这是用频率近似代替概率的理论依据)证:设则伯努利大数定律利用推论1即得.

2025/11/1920§6.2中心极限定理定理6.4设随机变量序列独立同分布，且

2025/11/1921独立同分布中心极限定理

2025/11/1922独立同分布中心极限定理

2025/11/1923例1计算机在进行数值计算时，其取整误差若在一项计算中进行了100次数值计算，求平均取整误差绝对值小于0.1的概率。解：令表示各次数值计算的取整误差，则独立同分布于且平均误差为

2025/11/1924例1由中心极限定理，近似地有于是

2025/11/1925例2:设一袋味精的重量是随机变量，平均值100克，标准差2克。求100袋味精的重量超过10.05公斤的概率。解:设表示第袋味精的量，可以认为是独立同分布的，又设?表示100袋味精的重量，所求概率为：分布未知近似看作正态分布

解例3

2025/11/1928棣莫佛－拉普拉斯定理定理6.5：设充分大时，有

2025/11/1929推论:充分大时，有

2025/11/1930例:在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元的概率有99%，赔偿金至多可设为多少？

2025/11/1931解:设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p)，其中n=10000，p=0.6%，n