微分几何复习题库及答案.docVIP

微分几何复习题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.曲线$r(t)=(t^2,2t,1)$在$t=1$处的切向量为（）

A.$(2,2,0)$B.$(2,2,1)$C.$(1,1,0)$D.$(1,1,1)$

-解析：对$r(t)$求导得$r^\prime(t)=(2t,2,0)$，当$t=1$时，$r^\prime(1)=(2,2,0)$，所以答案是A。

2.曲面$z=x^2+y^2$在点$(1,1,2)$处的法向量为（）

A.$(2,2,-1)$B.$(2,2,1)$C.$(1,1,-1)$D.$(1,1,1)$

-解析：设$F(x,y,z)=x^2+y^2-z$，则$F_x=2x$，$F_y=2y$，$F_z=-1$，在点$(1,1,2)$处，$F_x=2$，$F_y=2$，$F_z=-1$，所以法向量为$(2,2,-1)$，答案是A。

3.曲线$r(t)=(cost,sint,t)$的曲率为（）

A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{\sqrt{2}}$C.$\frac{1}{2\sqrt{2}}$D.$\frac{1}{4}$

-解析：先求$r^\prime(t)=(-sint,cost,1)$，$r^{\prime\prime}(t)=(-cost,-sint,0)$，$|r^\prime(t)|=\sqrt{(-sint)^2+cos^2t+1}=\sqrt{2}$，$r^\prime(t)\timesr^{\prime\prime}(t)=(sint,-cost,1)$，$|r^\prime(t)\timesr^{\prime\prime}(t)|=\sqrt{sin^2t+cos^2t+1}=\sqrt{2}$，则曲率$k=\frac{|r^\prime(t)\timesr^{\prime\prime}(t)|}{|r^\prime(t)|^3}=\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^3}=\frac{1}{2}$，答案是A。

4.下列哪个是高斯曲率的计算公式（）

A.$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$B.$K=\frac{EG-F^2}{LN-M^2}$C.$K=LN-M^2$D.$K=EG-F^2$

-解析：高斯曲率的计算公式是$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$，所以答案是A。

5.测地线的方程为（）

A.$\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma_{jk}^i\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0$B.$\frac{d^2x^i}{dt^2}+\Gamma_{jk}^i\frac{dx^j}{dt}\frac{dx^k}{dt}=0$C.$\frac{dx^i}{ds}+\Gamma_{jk}^i\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0$D.$\frac{dx^i}{dt}+\Gamma_{jk}^i\frac{dx^j}{dt}\frac{dx^k}{dt}=0$

-解析：测地线的方程是$\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma_{jk}^i\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0$，答案是A。

6.向量函数$r(t)$的长度$L=\int_{a}^{b}|r^\prime(t)|dt$，若$r(t)=(t^2,t,1)$，则从$t=0$到$t=1$的曲线长度为（）

A.$\int_{0}^{1}\sqrt{4t^2+1+1}dt$B.$\int_{0}^{1}\sqrt{4t^2+1}dt$C.$\int_{0}^{1}(4t^2+1+1)dt$D.$\int_{0}^{1}(4t^2+1)dt$

-解析：$r^\prime(t)=(2t,1,0)$，$|r^\prime(t)|=\sqrt{(2t)^2+1^2+0^2}=\sqrt{4t^2+1}$，曲线长度$L=\int_{0}^{1}|r^\prime(t)|dt=\int_{0}^{1}\sqrt{4t^2+1}dt$，答案是B。

7.若曲面的第一基本形式为$I=du^2+Gdv^2$，则曲面上曲线$u=u(t),v=v(t)$的弧长微元$ds$