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高中数学三角函数专题试题

三角函数作为高中数学的重要组成部分，不仅在高考中占据显著地位，其思想方法也广泛应用于物理、工程等多个领域。本专题旨在通过一系列典型试题，帮助同学们巩固三角函数的核心概念、公式体系及解题技巧，提升分析问题和解决问题的能力。

一、核心知识梳理与回顾

在进入试题之前，我们先来简要回顾一下三角函数的核心内容，这是解决一切相关问题的基础。

1.三角函数的定义：务必深刻理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）在单位圆中的定义，以及在直角三角形中的定义，并能熟练进行角度与弧度的换算。

2.同角三角函数基本关系：重点掌握平方关系与商数关系，这是化简、求值、证明的重要工具。要能灵活运用“知一求二”的技巧，并注意开方时符号的判断。

3.诱导公式：其本质是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。理解“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，并能准确应用于各类化简与求值问题。

4.三角函数的图像与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像是理解其定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及最值的关键。要能结合图像记忆和应用这些性质。

5.三角恒等变换：两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式是本部分的难点和重点。不仅要牢记公式形式，更要掌握公式的推导过程、变形应用以及它们之间的内在联系，如降幂公式、辅助角公式等。

二、典型试题解析

（一）三角函数的基本概念与同角关系

例1已知角α的终边经过点P(-3,4)，求sinα、cosα和tanα的值。

解析：根据三角函数的定义，设点P(x,y)，则r=√(x2+y2)。

对于点P(-3,4)，x=-3，y=4，所以r=√[(-3)2+42]=√(9+16)=√25=5。

因此，sinα=y/r=4/5，cosα=x/r=-3/5，tanα=y/x=4/(-3)=-4/3。

思路点拨：本题直接考查三角函数的定义，关键在于正确计算点到原点的距离r，并注意各三角函数的符号由角所在象限决定。

例2已知sinθ=3/5，且θ是第二象限角，求cosθ和tanθ的值。

解析：由同角三角函数的平方关系sin2θ+cos2θ=1，可得cos2θ=1-sin2θ。

将sinθ=3/5代入，得cos2θ=1-(3/5)2=1-9/25=16/25，所以cosθ=±4/5。

因为θ是第二象限角，在第二象限中，余弦值为负，故cosθ=-4/5。

则tanθ=sinθ/cosθ=(3/5)/(-4/5)=-3/4。

思路点拨：已知一个三角函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求平方，再根据角所在象限确定符号，最后利用商数关系求解。这是同角关系应用的典型模式。

（二）诱导公式与三角恒等变换

例3化简：sin(π+α)cos(α-π/2)tan(3π/2-α)。

解析：逐步应用诱导公式：

sin(π+α)=-sinα；

cos(α-π/2)=cos(π/2-α)[因为cos(-x)=cosx]=sinα；

tan(3π/2-α)=tan(π+π/2-α)=tan(π/2-α)=cotα=cosα/sinα。

将上述结果相乘：(-sinα)*sinα*(cosα/sinα)=(-sinα)*cosα=-sinαcosα。

思路点拨：化简题需熟练运用诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。在变换过程中，要注意符号的正确性，并及时约分化简。

例4求tan15°的值。

解析：15°可以表示为45°-30°，利用两角差的正切公式：

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。

所以tan15°=tan(45°-30°)=(tan45°-tan30°)/(1+tan45°tan30°)。

已知tan45°=1，tan30°=√3/3，代入得：

(1-√3/3)/(1+1*√3/3)=[(3-√3)/3]/[(3+√3)/3]=(3-√3)/(3+√3)。

分子分母同乘以(3-√3)进行分母有理化：

[(3-√3)2]/[(3)2-(√3)2]=(9-6√3+3)/(9-3)=(12-6√3)/6=2-√3。

思路点拨：对于非特殊角的三角函数值，若能表示为特殊角的和或差，则可利用两角和差公式求解。本题也可利用tan15°=sin30°/(1+cos30°)（半角公式）求解，方法不