无穷级数收敛半径证明方法及分析.pdfVIP



n

证明对级数ax应用达朗贝尔判别法

n

n0

n+1

ax

limn+1an+1

nlimxx,

n→axn→a

nn

(1)如果liman+1(0)存在,

n→a

n

1

由比值审敛法,当|x|时,级数|axn|收敛,

n

n0

n

从而级数ax绝对收敛.

n

n0

1n

当|x|时,幂级数ax发散,

n

n0

(2)如果0,x0,

n+1

ax

n+1

有→0(n→),n,

级数|ax|收敛

nn

ax

nn0



n

从而级数ax绝对收敛.收敛半径R+;

n

n0

(3)如果+,



n

x0,级数ax必发散.

n

n0

n

(否则由定理1知将有点x0使|ax|收敛)