第11讲 一次函数的应用（讲义，考点 15种题型)（教师版）-2025年中考数学一轮复习讲练测.docxVIP

第三章函数

第11讲一次函数的应用

（思维导图+考点+15种题型）

01考情透视·目标导航

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究

04题型精研·考向洞悉

?题型01最优方案问题

?题型02最值问题

?题型03行程问题

?题型04工程问题

?题型05分配问题

?题型06分段计费问题

?题型07调运问题

?题型08计时问题

?题型09体积问题

?题型10几何问题

?题型11新考法：新情景问题

?题型12新考法：与现实有关的热考问题

?题型13新考法：新考法问题

?题型14新考法：跨学科问题

?题型15新考法：中考预测题

01考情透视·目标导航

中考考点【常见类型】

考查频率

新课标要求

一次函数的实际应用--最优方案问题

★★

结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式；

能用一次函数解决简单实际问题.

一次函数的实际应用--最值问题

★★

一次函数的实际应用--行程问题

★★

【考情分析】

应用一次函数解决实际问题，包含两大类：1)利用函数图像解决运动问题；

2)利用函数性质解决最大利润、最小费用等最值问题.

考查内容包含利用待定系数法求函数解析式，利用函数的增减性求最值等，试题形式以解答题为主，难度中等.

【命题预测】一次函数的应用在中考中多考察一次函数图像的理解和信息提取，通常以最优方案、最值问题与行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键.

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究

用一次函数解决实际问题：应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题.

1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤：

1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；

2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像；

3）观察图像特征，判断函数的类型.

2.建立一次函数解析式的常用方法

1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式；

2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式；

3.一次函数应用问题的求解思路：

1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解；

2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点；

3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.

4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤：

1）观察图像，获取有效信息；

2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；

3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题.

【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.

5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种：

1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；

2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．

【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．

04题型精研·考向洞悉

?题型01最优方案问题

1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：

水果种类

进价（元/千克）

售价（元/千克）

甲

22

乙

25

该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．

(1)求的值；

(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）