第十九届希望杯初中12年级第12试试题解析(命题人评析).docVIP

第19届“希望杯”初中试题刍议

首都师范大学数学科学学院周春荔

2008年第19届全国“希望杯”数学邀请赛已经落下了帷幕。作为数学爱好者总要回味今年的试题.，交流学习试题的体验。“希望杯”初中试题的内容那样的基本，粗看平淡无奇，细品则另有醇美的风味.

比如，初一1试题4.正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，5，6，则正方形面积为（）

（A）33（B）36（C）48（D）49

答案：选（D）.

由于A在正方形内，所以A到两组对边的距离之和相等，由于只有1+6=2+5，于是，正方形的边长只能为7，故面积是72=49（平方单位）.

题目的设置将正方形的边长为7，以条件“正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，5，6”，将其巧妙地隐藏起来，等待解题者去发见。接着又在初一2试中，进一步升华为试题9

平行四边形内一点到四条边的距离分别是1，2，3，4，那么，这样的平行四边形的面积最小是（）.

（A）21（B）22（C）24（D）25.

答案：选（A）.

如1图所设，和是平行四边形的两条边长，

图1从1，2，3，4共有3组组合可作为为和，

图1

本题巧妙地利用斜边大于直角边解决了最小值的问题.拓广了前一个试题的内涵，足见命题者匠心独运.

对综合性的大题仔细品味，试题有如下特点.

一、题型基本，知识基本，技能基本，寓以新意有发展

分析：行程中的相遇问题，从小学开始就是重要的应用题型，属基本题型。其中路程、时间与速度的关系是基本知识。解决本

图2

图2

由于圆的直径为，则圆周长为。设A和B的速度和是每分钟米，一次相遇所用的时间为分；他们15分钟内相遇7次，用数学语言可以描述为

本题不是列方程，而是列不等式来描述题设的数量关系，这对一般学生可能比较生疏，体现了基本技能的灵活性。

已知“圆的直径为整数米”，所以，圆周直径至多是28米，至少是10米。

将行程问题与不等式的整数解联系起来，使行程问题的老题型有了新意，运算与表达难度对初一学生适中，可以综合考察学生的数学素养与数学能力。

二、问题不难，思路不难，解法不难，深层联系须挖掘

我们着重分析初二2试的第22题的来龙去脉.

杠杆在直角坐标轴上滑动，是非常典型的题型，对研究轨迹，函数、极值、导数都有重要意义.从小学到大学，都属常见的基本题型.比如：

图31.图3中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动。开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距

图3

O点15厘米。问：当滑块A向下滑到O点时，滑

块B滑动了多少厘米？（第十届华杯赛口试题22）

【答】滑块B滑动了10厘米。

可知连杆的长度等于25厘米。当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25厘米，故滑块B滑动了2515=

2.“给定直角XOY，一条定长（记为）的线段AB两端在角的两边上滑动，求AB中点P的轨迹.（轨迹是以O为中心，为半径的圆被定直角XOY截出的四分之一圆弧，解略）

把定长线段变为一个直角三角形的斜边，可得

始在正轴上运动时，点B随着在正轴上运动（图4）

图4.求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形

图4

应满足什么条件？”（OC的最大值是10，当A点重合于O时可达到）

如果求的线段的一端C不是直角的顶点，比如将直角板翻过来放，将C放在轴上，求原点O到点B的距离OB的最大值，就改编成了19届初二2试的第22题.并且有意识地安排成了3问的阶梯型，启发作题的思维过程.

（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；

（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；

（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？

解答分析：（1）当A点在坐标原点时，如图5，

目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的

基本应用与计算.

图5与BE交于点D，则

图5

个最大值呢？一般地我们也可以通过如下的代数的途

径求得这个极值.

这种解法所用的三角函数，显然超出了初二的知识范围，我们写出来是为了给大家参考.有没有可供初二学生接受的直观的妙着呢？有的！请看：

这里，巧妙地利用了线段的基本性质：两点间线段最短.一般地说，线段基本性质常用来求最小值。即线段AB长为定值时，AC+BC的最小值为AB，此时C在AB上.这是线段基本性质的一种应用；而另一种应用往往为人们所忽视：如果两条线段AC和CB在C点接在一起，AC=m与CB=n都是定长；那么AC+BC的最大值为m+n，此时C、A、B三点共线.例2的第（3）问就是应用了这一性质.

三、课外知识以简单的整数整除、组合计数为主，重在知识的灵活运用.

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