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七年级数学函数初步概念讲解与练习

同学们，从今天开始，我们要接触一个在整个数学学习中都非常重要的概念——函数。你可能会觉得这个词听起来有些抽象，但实际上，函数就隐藏在我们日常生活的方方面面。比如，你去商店买笔记本，买的本数越多，花的钱就越多；汽车行驶的时间越长，通常行驶的路程也就越远。这些例子中都蕴含着函数的基本思想：两个量之间的相互依赖关系。

一、从“关系”到“函数”：一个自然的过渡

在数学中，我们经常会遇到各种“量”，比如长度、重量、时间、温度等等。这些量有的是固定不变的，我们称之为“常量”；有的则会发生变化，我们称之为“变量”。

思考一下：

1.你每天上学，从家到学校的路程是固定的吗？（假设你走同一条路）如果是，这就是一个常量。

2.你上学路上花费的时间，每天都一样吗？这通常是一个变量，可能会因为交通状况等因素变化。

当我们关注两个变量时，常常会发现它们之间存在某种“联系”。比如：

*正方形的边长和它的周长：边长改变，周长也会跟着改变。

*购买苹果的数量和需要支付的钱数：数量越多，钱数越多（假设单价固定）。

*一个人的年龄和他的身高：在成长阶段，年龄增长，身高一般也会增长（当然，成年后身高就基本不变了）。

在这些例子中，我们能感觉到，当其中一个变量的值确定下来时，另一个变量的值似乎也“随之确定”了。函数，正是对这种“确定关系”的精确描述。

二、函数的概念：谁跟着谁变？怎么变？

1.函数的定义

在一个变化过程中，如果有两个变量，例如x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

对定义的理解，我们要抓住几个关键词：

*两个变量：必须是两个可以变化的量，不能是常量。

*x的每一个确定的值：自变量x要在某个范围内取值，我们暂且称之为“取值范围”。

*y有唯一确定的值与之对应：这是函数概念的核心！“唯一确定”意味着，给定一个x，不能有两个或更多个不同的y跟它对应。

例如：正方形的周长C与边长a的关系。

对于边长a的每一个确定的值（比如a=1cm），周长C都有唯一确定的值（C=4cm）与之对应。所以，我们说C是a的函数，a是自变量，C是因变量。

再思考一个反例：一个数x和它的平方根y。如果x=4，那么y可以是2，也可以是-2。这里，对于x=4这个确定的值，y不是“唯一确定”的，所以y不是x的函数（在这种情况下，我们通常会说y是x的平方根，而不是函数，除非我们对y的取值做一些限制，比如只取非负的那个平方根）。

2.函数的表示方法

函数关系是客观存在的，我们可以用不同的方式把它“表示”出来，方便我们研究和应用。常用的有三种方法：

*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系。

优点：一目了然，能直接看出部分自变量和因变量的对应值。

缺点：只能列出有限对对应值，不能反映整体变化趋势。

例如：某商店售卖铅笔，单价为1.5元/支。购买数量x（支）与总价y（元）的关系可以列表如下：

购买数量x(支)

1

2

3

4

...

:--------------

:---:

:---:

:---:

:---:

:---:

总价y(元)

1.5

3

4.5

6

...

*关系式法（解析法）：用数学式子（等式）来表示两个变量之间的函数关系。这种数学式子也常被称为函数的“解析式”。

优点：简洁明了，能准确反映变量间的普遍规律，便于进行计算和推理。

例如：

*上述正方形周长C与边长a的关系：`C=4a`。

*上述购买铅笔总价y与数量x的关系：`y=1.5x`(这里x通常取正整数)。

*汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系：`s=60t`(这里t≥0)。

*图像法：用平面直角坐标系中的图形来表示两个变量之间的函数关系。通常用横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y，每一对(x,y)对应一个点，所有这些点组成的图形就是函数的图像。

优点：直观形象，能清晰地看出函数的变化趋势（是上升还是下降，变化快还是慢等）。

缺点：从图像上读取的数值通常是近似值。

（图像法我们将在后续课程中重点学习和绘制）

重要提示：这三种表示方法各有优缺点，在实际应用中，我们常常会根据需要选择合适的方法，或者将它们结合起来使用。

3.自变量的取值范围

在函数关系中，自变量x不能随意取值，它的取值要使函数有意义，并且符合实际情况。我们把自变量x可以取值的范围叫做自变量的取值范围。

*从数学式子本身