第七讲 正则坐标与主振型.pptVIP

第七讲正则坐标与主振型第1页，共25页，星期日，2025年，2月5日**第一章振动理论基础1.1振动系统简介1.2单自由度系统1.3多自由度系统1.4连续振动系统1.5随机振动第2页，共25页，星期日，2025年，2月5日复习：多自由度系统固有频率和主振型一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等(也有特殊情况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为其中最低阶固有频率ω1称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。第3页，共25页，星期日，2025年，2月5日对应于ωi可以求得A(i)，它满足返回首页A(i)为对应于ωi的特征矢量。它表示系统在以ωi的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也称固有振型或主模态。对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型第4页，共25页，星期日，2025年，2月5日在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。令，于是可得第i阶主振型矢量为第5页，共25页，星期日，2025年，2月5日例1图是三自由度振动系统，设k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，试求系统的固有频率和主振型。解：选择x1、x2、x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为将M和K代入频率方程第6页，共25页，星期日，2025年，2月5日解方程得到求出系统的三个固有频率为=0代入第7页，共25页，星期日，2025年，2月5日可得主振型第8页，共25页，星期日，2025年，2月5日主坐标和正则坐标主振型的正交性主振型矩阵与正则振型矩阵主坐标和正则坐标第9页，共25页，星期日，2025年，2月5日返回首页n自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。对应于两边左乘转置，然后右乘相减第10页，共25页，星期日，2025年，2月5日表明，对应于不同固有频率的主振型之间，既关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。Ki称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；Mi称为第i阶主质量或第i阶模态质量。令j=i,第11页，共25页，星期日，2025年，2月5日可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。第12页，共25页，星期日，2025年，2月5日以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质主质量矩阵主刚度矩阵第13页，共25页，星期日，2025年，2月5日使MP由对角阵变换为单位阵正则振型的正交关系是第i阶正则振型第i阶固有频率第14页，共25页，星期日，2025年，2月5日以各阶正则振型为列，依次排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即由正交性可导出正则矩阵两个性质谱矩阵第15页，共25页，星期日，2025年，2月5日在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力偶合又有静力偶合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。由前面的讨论可知，主振型矩阵AP与正则振型矩阵AN，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。第16页，共25页，星期日，2025年，2月5日2.正则坐标用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设正则坐标矢量前乘以由正则振型矩阵的两个性质第17页，共25页，星期日，2025年，2月5日例5试求例1中系统的主振型矩阵和正则振型矩