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寻找题根搭支架积累经验通思路

作者：***

来源：《中学数学杂志(初中版)》2020年第03期

著名数学教育家G·波利亚曾说过“掌握数学就意味着擅于解题”。数学教学。从某种意义

上说就是解题教学，而在实际数学解题过程中，师生在解决几何类问题时常常不知所措。因

此。教师在备课时应围绕试题的核心知识。从不同视角分析图形。找准切入点（题根），梳理

关联线，搭建“思维脚手架”。便可“借梯”拾级而上。现以一道周周清测试题为例。做一些有益

的探索。供大家参考。

试题背景及分析1

在期末《圆的基本性质》等相关知识点的微专题复习时，笔者在周周清的单元检测时。遴

选了如下一道试题：

试卷批阅后。笔者发现这道题的得分率较低。尤其是第（2）问的第②小题做得很差，更

不要说第（3）问了。本题源于宁波市鄞州区的一道期末考试题。该题既考查了圆的基本知

识。又考查了相似三角形和解直角三角形等知识，渗透了转化思想和方程思想，是一道融圆与

解直角三角形于一体的综合性问题。思维含量较大。

讲评试卷前，笔者特别对第（2）问的第②小题做了进一步的调查。发现学生“卡壳”有两

处：一是角的转化，如何用等弧或同弧所对圆周角相等，寻找等角;二是添加辅助线，如何通

过三角形相似或全等，求出CF。BF的长。针对学生在解题时出现的“卡壳”现象，在试卷讲评

时，笔者对这道题做了如下处理，望得到同行的指正。

教学2片断回放

追2.1本溯源。由浅入深

师：同学们，老师先给出两个题目，你们一定很熟悉吧，请你们回忆思考一下。

师：那么试题中的第（1）问不是解决了吗？其实命题者往往以教材例、习题的图形为

根，抓住核心条件适当变式而成为新的试题，因此，同学们对课本的经典例（习）题要研深、

研透。

师：刚才我们复习了课本中的两个题目，接下去我们一起来看问题3.

师：（用微笑给予鼓励）很好，这个学生回答得不错！同学们，通过这几个题目的练习，

你收获了什么？谁能谈谈？

生2：在以圆为背景的试题中，要证角相等或找三角形相似时，一般可以采取：寻找“8”字

型或“A”字型基本图形，如△DQC～△AQB：或寻找同弧或等弧所对的圆周角相等，如

△PDB～△PCA：或利用圆内接四边形的圆外角等于圆内对角。如△PDC～△PBA，等等。

师：（笑笑看着生2）很好，在平时解决问题的过程中，我们要善于总结、提炼、建模，

通过解部分题掌握一类题，达到触类旁通之效。

设计意图问题是思维的起点。巧设题组。层层推进，由表（题根）及里（问题串），将

学生浅显易懂的知识进行剥离，表象知识内隐化，去表存真，探本求源，帮助学生找到思维的

原点（题根）。由此可见，我们要通过学生熟悉的习题下手，将问题合理变式，化题为型，串

题成链，织题成网，让课本例题、习题成为巩固知识、发展能力、掌握思想的重要渠道，真正

实现思维品质的提升。

引领思维2.2，拾级而上

师：刚才我们解决了3个问题，如果老师再改变题目条件，请大家继续探究：

师：真棒！我们通过相似关系已经求得了如BP，DP线段的长度，这对探求△DPE的面积

很有帮助，那△DPE的面积又如何求呢？

师：很好，板演的学生已经掌握了会用转化思想来解决问题。当我们遇到求三角形面积

时，不妨采取直接法（如公式法）和间接法（相似法，等积法，等高或等底法，和差法等），

这是求面积类问题的常用方法，特别是间接法，同学们一定要善于总结，好好归纳，并会灵活

运用。

师：刚才我们已经解决了问题4.那么题目中的第（2）问的第①小题又该如何解决？

（学生立即议论起来）

师：很好！同学们，那第（2）问的第②小题又该如何解决？

8的方法也不错！你是一个善于捕捉问题前后关联的学生。

师：嗯，这3位学生从不同的视角解决问题，生6重在于构造垂径定理的基本图形，生7

重在于构造手拉手”旋转全等模型，生8重在于借助公共直角边建立方程。这3种解法都是常

用的解题通法，同学们要多加体悟、多加积累！其实，此题还有其他解法，同学们课后再去探

索一下。

师：刚才我们解决了第（2）问。那么题目中的第（3）问又该如何解决？能否从问题4受

到启发？

（学生立即议论起来）

至此，学生通过交流、碰撞、探究寻找到解决问题的方法。

设计意图通过问题4的铺垫，深化