高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型.docVIP

一,向量重要结论

（１）、向量的数量积定义：规定,

(2）、向量夹角公式:与的夹角为，则

（3)、向量共线的充要条件：与非零向量共线存在惟一的,使。

(4）、两向量平行的充要条件:向量,平行

（５)、两向量垂直的充要条件:向量

（6)、向量不等式：，

（7)、向量的坐标运算：向量,，则

(8)、向量的投影：︱︱cｏs＝∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影

（９)、向量:既有大小又有方向的量。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且方向相同的向量。

（１0）、零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的，与任意向量平行零向量=||=0因为的方向是任意的，且规定平行于任何向量,故在关于向量平行(共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别)

（11)、单位向量:模为１个单位长度的向量向量为单位向量｜｜=1

(1２）、平行向量(共线向量）:方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥因为向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量

注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

（１）給出直线的方向向量或,要会求出直线的斜率；

（2）給出与相交,等于已知过的中点;

(3）給出,等于已知是的中点;

（４）給出,等于已知与的中点三点共线;

(５）給出如下情形之一:①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.

（６）給出，等于已知是的定比分点,为定比，即

(７)給出，等于已知,即是直角,給出,等于已知是钝角，給出,等于已知是锐角。

(８）給出,等于已知是的平分线/

(９)在平行四边形中,給出，等于已知是菱形;

（1０）在平行四边形中，給出,等于已知是矩形；

(11)在中，給出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)；

（1２）在中,給出,等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点);

（13）在中，給出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点)；

（１４）在中，給出等于已知经过的内心；

（15）在中,給出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16）在中，給出,等于已知是中边的中线。

(17)假如是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表达这一平面内全部向量的一组基底

（18）向量平行与直线平行有区别,直线平行不包含共线（即重叠）,而向量平行则包含共线(重叠）的情况

(19）向量的坐标与表达该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置关于

(２0)1．结合律不成立：；

2.消去律不成立不能得到

３．＝０不能得到＝或=

题型1.基本概念判断正误:

(1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（２)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。

(4）四边形ABCD是平行四边形的条件是。

（5）若，则A、B、C、Ｄ四点构成平行四边形。

(6)因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

(7）若与共线,与共线，则与共线。

(８)若,则。

(9)若,则。

（１0）若与不共线,则与都不是零向量。

(11)若,则。

（1２）若,则。

题型2.向量的加减运算

1.设表达“向东走８ｋm”，表达“向北走６km”,则。

2.化简。

3.已知，,则的最大值和最小值分别为、。

4．已知的和向量,且，则,。

５.已知点C在线段ＡB上,且，则,。

题型３.向量的数乘运算

1．计算:(1）(２)

2.已知，则。

题型4.作图法球向量的和

已知向量,如下列图，请做出向量和。

题型5．依照图形由已知向量求未知向量

１．已知在中，是的中点,请用向量表达。

２．在平行四边形中,已知，求。

题型6.向量的坐标运算

1．已知,，则点的坐标是。

2.已知，，则点的坐标是。

3.若物体受三个力,,，则合力的坐标为。

４.已知，，求,，。

５.已知,向量与相等，求的值。

6.已知，，，则。

7．已知是坐标原点,，且,求的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知是平面内的一组基底，判断以下每组向量是否能构成一组基底：

A．B.C.Ｄ.

2.已知,能与构成基底的是（)

A．B．C．