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高等数学(A,B)(上册)期末试卷及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题（每小题3分，共15分。请将答案填在题后的括号内）

1.函数f(x)=√(4-x^2)的定义域是()。

(A)(-∞,-2)∪(2,+∞)(B)[-2,2](C)(-2,2)(D)(-∞,-2]∪[2,+∞)

2.极限lim(x→2)(x^3-8)/(x-2)的值是()。

(A)4(B)8(C)12(D)不存在

3.函数f(x)=x^2+4x+5的导数f(x)等于()。

(A)2x+4(B)2x-4(C)2x+5(D)2x-5

4.函数f(x)=e^x在点(0,1)处的切线斜率是()。

(A)0(B)1(C)e(D)1/e

5.下列函数中，在区间(-1,1)内可导的是()。

(A)|x|(B)1/x(C)√(1-x^2)(D)1/(x^2-1)

二、填空题（每小题2分，共10分。请将答案填在题后的横线上）

1.若函数f(x)=ax+b的反函数为f^(-1)(x)=2x-3，则a=__________，b=__________。

2.极限lim(x→∞)(3x^2-x+2)/(5x^2+1)=__________。

3.曲线y=ln(x)在点(e,1)处的切线方程为__________。

4.若f(x)=sin(x)+x^2，则f(x)在x=0处的微分dy=__________。

5.不定积分∫(1/x)dx=__________。

三、计算题（共45分）

1.求极限lim(x→0)(sin(3x)-3x)/(x^2)。

2.讨论函数f(x)=|x-1|在x=1处的连续性和可导性。

3.求函数y=x^3-3x^2+2的单调区间和极值点。

4.计算定积分∫[0,π/2]sin(x)cos^2(x)dx。

5.求解微分方程y-y=x。

四、证明题（共15分）

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导。证明：存在一点ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)。

试卷答案

一、选择题

1.B

2.B

3.A

4.B

5.C

二、填空题

1.2,-3

2.3/5

3.y=(1/x)-1

4.x^3/3+sin(x)+C（此处C应为常数，但题目问微分dy，dy=x^3dx+cos(x)dx，此处可能题目意图稍有混淆，更精确的dy形式见下计算题4解析）

5.ln|x|+C

三、计算题

1.解析思路：利用等价无穷小替换和洛必达法则。

lim(x→0)(sin(3x)-3x)/(x^2)=lim(x→0)[(sin(3x)-3x)/(3x)]*(3/x)=lim(x→0)[(sin(3x)-3x)/(3x)]*lim(x→0)(3/x)=0*3=0。

（也可用洛必达法则：lim(x→0)[sin(3x)-3x]/(x^2)=lim(x→0)[3cos(3x)-3]/(2x)=lim(x→0)[-9sin(3x)]/2=0）

2.解析思路：分别判断连续性和可导性。

连续性：f(1)=|1-1|=0。lim(x→1-)f(x)=lim(x→1-)|x-1|=1。lim(x→1+)f(x)=lim(x→1+)|x-1|=1。因为lim(x→1-)f(x)≠lim(x→1+)f(x)