解非线性方程组的迭代法.pptVIP

4.2迭代法的收敛条件前面介绍了三种迭代法.从例子看到这三种迭代法都有成功的时候.但我们也可以预计,某种迭代法可能会失效.下面我们试图从理论上来探讨这一问题.三种迭代法的统一写法为:第30页，共49页，星期日，2025年，2月5日定义设给定Rn中的向量序列{}，即其中若对任何i(i=1,2,…,n)都有或者说向量序列{}依坐标收敛于向量，记为则向量称为向量序列{}的极限，4.2.1迭代法收敛的概念第31页，共49页，星期日，2025年，2月5日证:再由范数的等价性有引理向量序列{x(m)}依坐标收敛于x*的充要条件是向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。如果满足此式，称x(m)依范数收敛于x*第32页，共49页，星期日，2025年，2月5日定义4.2设x*是方程组Ax=b的解,对于给定的初始向量x(0),若由某种迭代法产生的向量序列{x(m)}有则称该方法收敛,否则称该方法发散.第33页，共49页，星期日，2025年，2月5日4.2.2迭代法收敛的判定定理定理4.1设若则对任意的初始向量,该迭代过程收敛于的唯一解,且有估计式第34页，共49页，星期日，2025年，2月5日证:先证若则E-B非奇异.用反证法:设E-B是奇异的,则存在非零向量x,使(E-B)x=0.即有x=Bx.两边取范数,再由范数的性质得由于得与矛盾第35页，共49页，星期日，2025年，2月5日解非线性方程组的迭代法第1页，共49页，星期日，2025年，2月5日迭代法的构造迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求线性方程组的解。设有方程组,将其转化为等价的便于迭代的形式（这种转化总能实现，如令）并由此构造迭代公式其中，称为迭代矩阵，称为迭代向量。对任意的初始向量，由迭代式可求得向量序列若，则就是方程组Ax=b的解.第2页，共49页，星期日，2025年，2月5日§4.1解线性方程组的三种迭代法4.1.1．雅克比（Jacobi）迭代法（以三阶方程组为例）设有方程组：第3页，共49页，星期日，2025年，2月5日假设任选一向量X(0)作为解的初值.则方程组可写为：代入式(4.1)中得方程组的一次近似.第4页，共49页，星期日，2025年，2月5日把X(1)再代入到(4.1)中得方程组的二次近似.重复这一过程,假设得到了m次近似X(m)。代入到(4.1)中可得m+1次近似X(m+1)。称此迭代公式为原方程组的雅可比迭代公式.第5页，共49页，星期日，2025年，2月5日对于n阶方程组则雅可比迭代公式为:第6页，共49页，星期日，2025年，2月5日若用矩阵来记录雅可比矩阵,可作如下的推导:令A=D-L-U,其中第7页，共49页，星期日，2025年，2月5日则有AX=DX-LX-UX=b.即DX=b+(L+U)X从而有DX(m+1)=b+(L+U)X(m).若则D可逆,于是得称BJ为雅可比迭代矩阵.这种迭代格式称为雅可比迭代格式。第8页，共49页，星期日，2025年，2月5日在某种条件下，按雅可比迭代所产生的向量序列的极限会存在，且等于原方程组的解。这种求解方法被称为雅可比迭代法，或简单迭代法。定义4.1如果向量序列{X(m)}={(x1(m),x2(m),…xn(m)}有xi(m)→xi*（i=1,2,3,…n）(m→∞)则称向量X*=(x1*,x2*,…xn*)为向量序列{X(m)}的极限,记为:第9页，共49页，星期日，2025年，2月5日例用简单迭代法解下列方程组解将方程组写成等价形式第10页，共49页，星期日，2025年，2月5日取初始值x(0)=0,按迭代公式第11页，共49页，星期日，2025年，2月5日4.1.2高斯——赛德尔迭代法对雅可比迭代法作如下的改进:将初值代入4.1的第一个方程可得,用代入第二个方程得,用代入第三个方程得,这样一直做下去,直到得到满意的解为止.之所以作这样的改进是希望更快的得到近似解.第12页，共49页，星期日，20