第八章根轨迹法.pptVIP

自动控制原理自动控制原理第八章根轨迹法第1页，共34页，星期日，2025年，2月5日闭环系统的动态性能与闭环极点（闭环特征方程的根）在s平面上的位置密切相关，分析系统时须求解特征方程的根，这对于高阶系统是异常困难的。根轨迹法：直接由求（闭环极点）的方法开环传递函数闭环特征根第2页，共34页，星期日，2025年，2月5日§8-1根轨迹与根轨迹方程§8-2绘制根轨迹的基本法则§8-4系统闭环零极点分布与性能指标例题分析课后习题第3页，共34页，星期日，2025年，2月5日§8-1根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹概念所谓根轨迹，是指当系统某个参数（如开环增益K）由零到无穷大变化时，闭环特征根在复平面上移动的轨迹。由已知的系统开环传递函数绘制根轨迹图，即可直观的表示出某参数变化时闭环特征根发生的变化，从而分析系统的动态性能。根轨迹图全面地描述参数对闭环特征根分布的影响。第4页，共34页，星期日，2025年，2月5日式中，令K*=2K，称K*为系统的开环根轨迹增益，它不等于开环增益K。闭环特征方程为可求得闭环特征根闭环传递函数为如图所示，系统的开环传递函数为求根轨迹。例8-1第5页，共34页，星期日，2025年，2月5日K由0?∞变化时，可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标注在[S]平面上，即闭环特征根在[S]平面上移动的轨迹，称为系统的根轨迹，如下图如示下面寻找系统开环增益K和系统闭环特征根的关系。当K=0时K=0.5时K=1时K=∞时ImRe-20K=0.5K=1K=1第6页，共34页，星期日，2025年，2月5日由根轨迹图，可对系统的动态性能进行如下分析：开环增益K由0变化到无穷大时，根轨迹均在[S]平面的左半部，因此，系统对所有的K值都是稳定的。当0K0.5时，闭环极点为负实根，系统呈过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。当K=0.5时，系统阻尼比为1，出现重根，呈临界阻尼状态。当K0.5时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态。且由坐标原点做与负实轴夹角为±45°的直线，与根轨迹交于根-1+j和-1-j。显然，这时有最佳阻尼比0.707，此时K=1。因为开环传递函数有一个位于坐标原点的极点，所以系统为Ⅰ型系统，阶跃作用下的稳态误差ess=0，而静态误差系数可从根轨迹对应的K值求得。第7页，共34页，星期日，2025年，2月5日二、根轨迹方程及幅角、幅值条件设系统的闭环传递函数为其特征方程为1+G(s)H(s)=0，即G(s)H(s)=-1该式称为根轨迹方程，满足该式的点必定是根轨迹上的点。由于G(s)H(s)是复数向量，两个向量相等则幅角、幅值分别相等。因此，根轨迹方程可写成两个方程，即幅值条件：幅角条件：第8页，共34页，星期日，2025年，2月5日系统开环传递函数可写成z1、z2、…、zm为系统的m个开环零点；p1、p2、…、pn为系统的n个开环极点。该传递函数的向量表达式为其中，第9页，共34页，星期日，2025年，2月5日因此幅角条件、幅值条件可表示为：由上两式可知，幅角条件与增益K*值无关，而幅值条件中含因子K*，但K*为零至无穷大。因此，复平面[S]上所有满足幅角条件的点都是特征方程的根，这些点构成的曲线即根轨迹曲线。各个点所对应的增益K*值则可由幅值条件确定。这就是求取根轨迹的原则。第10页，共34页，星期日，2025年，2月5日利用以上原则求例8-1的根轨迹图：已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即用试探的方法可找出满足上述条件的s点。由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹位于（-2，0）区间，实轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。如对(-1+j)点，有得K*=2用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的K*值。第11页，共34页，星期日，2025年，2月5日§8-2绘制根轨迹的基本法则根轨迹法是依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系（幅角条件），直接由开环函数寻找闭环根轨迹。掌握根轨迹的规律性可以极大的方便绘制。本节讨论开环增益K变化时绘制根轨迹的法则，这些法则经适当变