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华罗庚金杯赛试题及答案
一、单选题（每题2分，共20分）
1.若x满足x+1/x=2，则x^3+1/x^3的值为（）（2分）
A.0B.2C.8D.10
【答案】D
【解析】由x+1/x=2，两边平方得x^2+2+1/x^2=4，即x^2+1/x^2=2。再两边平方得x^4+2x^2+1/x^4=4，即x^4+1/x^4=2。由立方和公式(x+1/x)^3=x^3+1/x^3+3(x+1/x)，得x^3+1/x^3=(x+1/x)^3-3(x+1/x)=2^3-3×2=8-6=2。所以x^3+1/x^3+2=10，即x^3+1/x^3=8。故选D。
2.一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（）（2分）
A.5B.6C.7D.8
【答案】C
【解析】设这个多边形的边数为n，则(n-2)×180°=720°，解得n=6。但题目问的是“边数”，不是“边数加2”，故选C。
3.若ab0，则下列不等式正确的是（）（2分）
A.a^2b^2B.1/a1/bC.|a||b|D.-a-b
【答案】D
【解析】因为ab0，所以-a-b。故选D。
4.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积为（）（2分）
A.15πcm^2B.30πcm^2C.45πcm^2D.60πcm^2
【答案】A
【解析】圆锥的侧面积公式为S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长。代入数据得S=π×3×5=15πcm^2。故选A。
5.若方程x^2+px+q=0的两个实根之差的绝对值为2，则p^2-4q的值为（）（2分）
A.2B.4C.8D.16
【答案】C
【解析】设方程的两个实根为x1和x2，则|x1-x2|=2。根据韦达定理，x1+x2=-p，x1x2=q。又(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=p^2-4q=4。所以p^2-4q=8。故选C。
6.一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线长为（）（2分）
A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm
【答案】B
【解析】直角三角形的斜边长为√(6^2+8^2)=10cm，斜边上的中线等于斜边的一半，即5cm。故选B。
7.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则f(-1)f(1)的值一定（）（2分）
A.小于0B.等于0C.大于0D.无法确定
【答案】B
【解析】因为函数开口向上，且顶点在x轴上，所以a0，且-b/2a=0，即b=0。所以f(x)=ax^2+c。f(-1)f(1)=a(-1)^2+c×a^2=c(a^2+c)=0。故选B。
8.一个等腰梯形的上底长为4cm，下底长为10cm，腰长为6cm，则这个梯形的高为（）（2分）
A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm
【答案】B
【解析】作等腰梯形的高的垂线，将梯形分成一个矩形和两个全等的直角三角形。设高为h，则由勾股定理得h=√(6^2-(10-4)/2^2)=√(36-3^2)=√27=3√3≈5cm。故选B。
9.若a是方程x^2-3x+1=0的一个根，则a^2-3a+1的值为（）（2分）
A.0B.1C.2D.3
【答案】A
【解析】因为a是方程x^2-3x+1=0的一个根，所以a^2-3a+1=0。故选A。
10.一个圆的周长为12πcm，则这个圆的面积为（）（2分）
A.36πcm^2B.144πcm^2C.9πcm^2D.81πcm^2
【答案】A
【解析】圆的周长公式为C=2πr，代入数据得12π=2πr，解得r=6cm。圆的面积公式为S=πr^2，代入数据得S=π×6^2=36πcm^2。故选A。
二、多选题（每题4分，共20分）
1.下列命题中，正确的有（）（4分）
A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则1/a1/bC.若a^2b^2，则abD.若ab，则|a||b|
【答案】B、D
【解析】A错误，例如a=2，b=-3时，ab但a^2b^2。B正确，因为ab且a、b同号时，1/a1/b。C错误，例如a=-3，b=-2时，a^2b^2但ab。D正确，因为ab且a、b同号时，|a||b|。考查不等式的性质。
2.下列函数中，在(0,1)上单调递减的有（）（4分）
A.y=x^2B.y=1/xC.y=2-xD.y=lnx
【答案】B、C
【解析】A在(0,1)上单调递增。B在(0,1)上单调递减。C在(0,1)上单调递减。D在(0,1)上单调递增。考查函数的单调性。
3.下列图形中，是中心对称图形的有（）（4分）
A.等腰三角形B.矩形C.菱形D.等腰梯形
【答案】B、C
【解析】矩形和菱形是中心对称图形。等腰三角形和等腰梯形不是中心对称图形。考查中心对称图形的概念。
4.下列方程中，有实数解的有（）（4分）
A.x^2+1=0B.x^2
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