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华杯赛试题及答案2018

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，若△ABC的周长为20cm，则△ADE的周长为（）（2分）

A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm

【答案】B

【解析】根据三角形中位线定理，DE平行且等于BC的一半，AD平行且等于BC的一半，AE平行且等于BC的一半，所以△ADE的周长为△ABC周长的一半，即10cm。

2.将一个棱长为3的正方体切成若干个小正方体，表面积增加了108平方厘米，则切下的小正方体的棱长为（）（2分）

A.1厘米B.2厘米C.3厘米D.无法确定

【答案】B

【解析】切下的小正方体个数不影响表面积增加的部分，表面积增加的是新露出的面积，每个切面增加的面积为3×3=9平方厘米，共增加108平方厘米，所以切下的小正方体个数为108÷9=12个，每个小正方体的棱长为2厘米。

3.一个三位数，它的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，且这个三位数能被9整除，则这样的三位数共有（）个。（2分）

A.36B.45C.54D.63

【答案】A

【解析】设三位数为ABC，其中A、B、C分别表示百位、十位和个位数字，根据题意有B=A+1，C=B+1，且A+B+C是9的倍数，即3A+3是9的倍数，所以A可以是2、5、8，共有36种情况。

4.在直角坐标系中，点A（1，2）和点B（4，6）关于某条直线对称，则这条直线一定不经过的象限是（）（2分）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】点A和点B关于某条直线对称，则这条直线是AB的垂直平分线，垂直平分线的斜率为（6-2）/（4-1）=-2，所以直线方程为y=-2x+b，由于点A在直线上，代入得b=4，所以直线方程为y=-2x+4，这条直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。

5.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，沿同一条路走向C地，甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时6千米，甲到达C地后立即返回，在途中与乙相遇，则两人从出发到相遇共用了（）小时（2分）

A.1小时B.2小时C.3小时D.4小时

【答案】A

【解析】设A、B两地之间的距离为S千米，甲、乙相遇时甲走了S+2x千米，乙走了S-x千米，其中x为甲到达C地后返回的路程，根据题意有S+2x=4t，S-x=6t，解得S=10t，x=2t，所以甲、乙相遇时甲走了16t千米，乙走了8t千米，根据速度和路程的关系有16t/4=8t/6，解得t=1小时。

6.一个圆锥的底面半径为3厘米，母线长为5厘米，则这个圆锥的侧面积为（）平方厘米（2分）

A.15πB.20πC.24πD.30π

【答案】A

【解析】圆锥的侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长，代入得侧面积为π×3×5=15π平方厘米。

7.在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD一定是（）（2分）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】D

【解析】在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=∠C=∠D，根据内角和定理有∠A+∠B+∠C+∠D=360°，代入得90°+3∠B=360°，解得∠B=90°，所以四边形ABCD是正方形。

8.将一个半径为2的圆形纸片沿半径剪开，然后将其展开成一个扇形，则这个扇形的圆心角为（）度（2分）

A.90°B.180°C.270°D.360°

【答案】B

【解析】将一个半径为2的圆形纸片沿半径剪开，然后将其展开成一个扇形，这个扇形的圆心角等于圆的周长，即2πr=4π，所以圆心角为360°，但由于剪开了一条半径，所以实际圆心角为180°。

9.在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=8cm，则DE=（）cm（2分）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

【答案】B

【解析】根据三角形中位线定理，DE平行且等于BC的一半，所以DE=BC/2=8/2=4cm。

10.一个数除以3余1，除以5余2，除以7余3，则这个数最小为（）（2分）

A.47B.52C.58D.64

【答案】A

【解析】根据中国剩余定理，设这个数为x，则有x≡1(mod3)，x≡2(mod5)，x≡3(mod7)，解得x=47。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列图形中，是轴对称图形的有（）（4分）

A.等腰三角形B.平行四边形C.等边三角形D.圆

E.等腰梯形

【答案】A、C、D、E

【解析】等腰三角形、等边三角形、圆和等腰梯形都是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形。

2.以下关于圆的性质的说法正确的有（）（4分）

A.圆的直径是它的对称轴B.圆的任意一条弦都是它的对称轴

C.圆心到弦的距离等于弦的一半D.圆的切线垂直于过切点的半径

E.圆的任意一条直径都是它的对称轴

【答案】C、D、