基本不等式及其应用：条件、形式与值求解.pdfVIP

第三节基本不等式

a＋b

1.基本不等式ab≤

2

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.

2.几个重要的不等式

22

(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)；

ba

(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；

ab

a＋b2

(3)ab≤2(a，b∈R)；



22

a＋ba＋b

2≤

(4)22(a，b∈R)．



3.算术平均数与几何平均数

a＋b

设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等

2

式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4.利用基本不等式求最值问题

已知x0，y0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：

积定和最小)．

2

q

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定

4

积最大)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

1

(1)函数y＝x＋的最小值是2.()

x

Section3BasicInequalities

1.Basicinequalitiesab≤

a＋b2

(1)Theconditionsforthebasicinequality

tohold:a0,b0.(2)Theconditionsforthe

equalitysigntohold:ifandonlyifa＝b.

2.Severalimportant

inequalities

22

(1)a＋b≥2ab(a,b∈R);(2)ba

＋

ab≥2(a,bhavethesame

signandarenotzero);(3)ab

＋2＋



≤2ab(a,b∈R);(4)



2≤2