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2025年百题冲刺费马

一、单项选择题（总共10题，每题2分）

1.费马大定理的表述是关于什么数的方程没有正整数解？

A.2次方

B.3次方

C.4次方

D.5次方

答案：D

2.费马大定理的证明者是谁？

A.莱布尼茨

B.欧拉

C.高斯

D.哥德尔

答案：B

3.费马大定理中，n的取值范围是什么？

A.n1

B.n2

C.n3

D.n4

答案：B

4.费马小定理是关于什么的？

A.素数的性质

B.合数的性质

C.整数的性质

D.有理数的性质

答案：A

5.费马小定理的表述是什么？

A.如果p是素数，a是任意整数，则ap-1≡1(modp)

B.如果p是素数，a是任意整数，则ap≡a(modp)

C.如果p是素数，a是任意整数，则ap≡0(modp)

D.如果p是素数，a是任意整数，则ap≡-1(modp)

答案：A

6.费马小定理在密码学中有什么应用？

A.RSA加密

B.AES加密

C.DES加密

D.3DES加密

答案：A

7.费马数是什么？

A.形如2^(2^n)+1的数

B.形如2^(2^n)-1的数

C.形如3^(3^n)+1的数

D.形如3^(3^n)-1的数

答案：A

8.费马数有哪些已知的素数？

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

答案：B

9.费马数的性质是什么？

A.费马数都是素数

B.费马数都是合数

C.费马数中既有素数也有合数

D.费马数中只有一个是素数

答案：B

10.费马数的应用是什么？

A.数论研究

B.代数研究

C.几何研究

D.物理学研究

答案：A

二、填空题（总共10题，每题2分）

1.费马大定理的完整表述是：对于大于2的任意整数n，不存在正整数a、b、c使得a^n+b^n=c^n。

2.费马小定理的数学表述是：如果p是素数，a是任意整数，则ap-1≡1(modp)。

3.费马数的通项公式是2^(2^n)+1。

4.费马数的第一个素数是3。

5.费马数的第二个素数是5。

6.费马数的第三个素数是17。

7.费马数的第四个素数是257。

8.费马数的第五个数是65537，它是素数。

9.费马数的第六个数是4294967297，它是合数。

10.费马数的第七个数是18446744073709551617，它是合数。

三、判断题（总共10题，每题2分）

1.费马大定理在费马时代就被证明。

2.费马小定理是费马大定理的特例。

3.费马数都是素数。

4.费马数的通项公式是2^(2^n)-1。

5.费马小定理在RSA加密中有重要应用。

6.费马数的第一个素数是2。

7.费马数的第二个素数是3。

8.费马数的第三个素数是5。

9.费马数的第四个素数是17。

10.费马数的第五个数是257，它是合数。

答案：1.错2.对3.错4.错5.对6.错7.对8.对9.对10.错

四、简答题（总共4题，每题5分）

1.简述费马大定理的表述及其历史背景。

答：费马大定理表述为：对于大于2的任意整数n，不存在正整数a、b、c使得a^n+b^n=c^n。这个定理由法国数学家皮埃尔·德·费马在1637年提出，他在《算术》一书的边缘写道，他有一个绝妙的证明，但页边空白太小写不下。

2.简述费马小定理的表述及其应用。

答：费马小定理表述为：如果p是素数，a是任意整数，则ap-1≡1(modp)。这个定理在密码学中有重要应用，特别是在RSA加密算法中，利用费马小定理可以有效地进行公钥和私钥的生成。

3.简述费马数的定义及其性质。

答：费马数定义为形如2^(2^n)+1的数。已知的费马数中，前五个（3、5、17、257、65537）是素数，但从第六个开始都是合数。费马数的性质包括它们在数论中的特殊地位，以及它们在密码学和其他数学领域中的应用。

4.简述费马大定理的证明过程及其意义。

答：费马大定理的证明过程漫长而复杂，最终由英国数学家安德鲁·怀尔斯在1994年成功证明。这个定理的证明不仅解决了数学史上一个长期悬而未决的问题，还对现代数学的发展产生了深远影响，特别是在数论和代数几何领域。

五、解决问题（总共4题，每题5分）

1.使用费马小定理计算17^14mod5。

解：首先，5是素数，根据费马小定理，17^4≡1(mod5)。因此，17^14=(17^4)^317^2≡1^317^2≡1289≡4(mod5)。

2.判断257是否为素数。

解：257是费马数，根据费马数的定义，它是2^(2^3)+1。通过素性测试可以确认257