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第三部分方法培优

第1讲化归与模型思想

将欲求解的复杂问题经过一次或多次转化，将其化为一个或几个已知的或容易求解的问题，或将抽象的问题化为具体的问题，进而达到解决问题的目的，在这个过程中所运用的转化方法就是化归思想。

化归思想方法是解决问题的重要方法。如：三元方程（组）化为二元方程（组）、二元方程（组）化为一元方程来解答；在四边形的学习中，常将四边形的问题转化为三角形的问题来解答；直角三角形借数量关系来解答；几何问题借坐标来精确研究：一次函数、反比例函数、二次函数借点在坐标系里的规律来研究它们的图像性质等。

数学模型通常是指从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，如：“垂线段最短”“将军饮马”“点圆最值”等，若注意将相关问题转化为对应的模型进行求解，常可化难为易，化繁为简，达到简洁求解之目的。

化归与模型思想常见的类型：

（1）将不规则图形的面积化为可求的规则图形的面积；

（2）将非格点图形问题化为格点图形问题；

（3）将函数问题化为求点坐标的问题；

（4）将几何问题化为基本的几何模型的问题。

经典试题解析

类型1不规则图形的面积转化

例1[2023·广元中考]如图3-1-1，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是AB?上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D

图3-1-1

A.2516π B.258π

思路分析连接OC，易证四边形CDOE是正方形，进而得出S△CDE=S△OCE

[解析]解答如图3-1-2，连接OC。

图3-1-2

∵CD⊥OA，CE⊥

∴四边形CDOE是矩形。

∵CD

∴矩形CDOE是正方形，

∴S△CDE=

∴图中阴影部分面积=45×π×

故选B。

类型2非格点图形问题的转化

例2[2023·济宁中考]如图3-1-3，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交于点F。若∠CFB=α,则∠ABE等于（

图3-1-3

A.180°-α B.180°

思路分析在正方形方格中构造三角形，利用三角形全等的性质和外角的性质即可求解。

[解析]解答如图3-1-4，连接BD，CB，过点E作EH⊥CH，交CB的延长线于点

图3-1-4

由图可知，CB=EH=1，DB

∴△DBC

∴∠CDB

∵∠CFB=∠

∴∠EBH+∠

∴∠ABE=∠

∵∠DBH=

∴∠ABE=

故选C。

类型3函数问题的转化

例3[2023·达州中考]如图3-1-5，一次函数y=2x与反比例函数y=2x的图像相交于A，B两点，以AB为边作等边三角形ABC。若反比例函数y=kx的图像过点

图3-1-5

思路分析依据题意，点C在AB的垂直平分线上，可得直线OC的解析式为y=-12x，故可设Ca,-12a，再由

[解析]解答如图3-1-6，连接OC。

图3-1-6

根据题意，建立方程组y

解得x=1

∴A1,

∴点A，B关于原点对称。

∵△ABC

∴AB的垂直平分线OC过原点O和点C

∵直线AB的解析式为y=

∴直线OC的解析式为y=-

∴设Ca

又∵△ABC

∴AC

∴根据两点间的距离公式可得a-

解得a=±

∵点C在第二象限，

∴C(-2

将点C的坐标代入y=kx

故答案为-6

类型4几何问题的转化

例4[2023·菏泽中考]如图3-1-7，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5，AD=4，ADBC，点E在线段BC上运动，点F

图3-1-7

思路分析已知∠ADF=∠BAE,证明∠AFD=90°，即点F在以点O为圆心，AD长为直径的半圆O上运动，求BF的最小值转化成求圆外一点到圆上一点的最小值问题（即点圆最值模型），当B,F

[解析]解答如图3-1-8，设AD的中点为O，以点O为圆心，AD长为直径画半圆，连接OF，OB。

图3-1-8

∵∠ABC=∠

∴AD

∴∠DAE

∵∠ADF

∴∠AFD=∠

∴点F在以点O为圆心，AD长为直径的半圆O上运动。

∵AD

∴AO

在Rt△BAO中，AB=5

∴BO

又BF≥

∴当B,F,O三点共线时，BF最小。

∴线段BF的最小值为29-

故答案为29-

核心素养培优

1.[2023·连云港中考]如图3-1-9，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆。若AB=4，BC=5

图3-1-9

A.414π-20 B.41

2.[2023·苏州中考]如图3-1-10，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是（B）

图3-1-10

A.连接AB，则AB//PQ B.连接BC

C.连接BD，则BD⊥PQ D.连接AD

3.