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高三数学函数专题复习资料

各位同学，大家好。

函数作为高中数学的核心内容，贯穿于整个高中数学的学习过程，也是高考考查的重点和难点。一份扎实的函数基础，不仅能帮助我们从容应对函数本身的各类问题，更能为解析几何、导数、不等式等其他知识模块的学习提供有力的工具和思想方法。临近高考，我们在此对函数专题进行一次系统性的梳理与复习，旨在帮助同学们巩固基础、明晰脉络、突破难点，最终在高考中取得理想的成绩。

一、函数的基本概念与性质：构建函数大厦的基石

函数的学习，首先要从其基本概念入手，深刻理解其内涵与外延，进而掌握其核心性质。

1.1函数的定义：从“两个非空数集”到“对应法则”

我们回顾函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。

这里的关键词是“非空数集”、“任意”、“唯一确定”。这意味着：

*定义域（A）：函数的“输入”范围，是自变量x的取值集合。求解定义域是研究函数的第一步，常见的限制条件有：分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零、零次幂的底数不为零等。

*值域（函数值的集合{f(x)|x∈A}）：函数的“输出”范围，由定义域和对应法则共同决定。求值域的方法灵活多样，如观察法、配方法、换元法、判别式法、单调性法、基本不等式法等，需根据函数特点灵活选用。

*对应法则（f）：函数的核心，它规定了x如何对应到y。

理解函数的定义，要能准确判断一个对应关系是否为函数，能根据具体情境抽象出函数关系。

1.2函数的表示方法：解析法、图像法、列表法

*解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这是最常用的方法，便于进行代数运算和推理。

*图像法：用平面直角坐标系中的图形表示函数关系，具有直观性，能清晰地反映函数的单调性、奇偶性等性质。“数形结合”是解决函数问题的重要思想。

*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，适用于自变量取值较少或有特定规律的情况。

在解题中，我们常常需要将这三种方法结合起来使用，例如根据函数的解析式画出其图像，或根据函数的图像分析其解析式的特征。

1.3函数的基本性质：单调性、奇偶性、周期性、最值

这些性质是描述函数行为特征的重要方面，也是高考考查的重点。

*单调性：函数在某个区间上的增减趋势。

*定义：对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x?，x?，若当x?x?时，都有f(x?)f(x?)（或f(x?)f(x?)），则称函数f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。

*判定：定义法（作差或作商）、导数法（高一学完导数后）。复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则。

*几何意义：函数图像在单调递增区间上从左到右是上升的，在单调递减区间上从左到右是下降的。

*奇偶性：函数图像的对称性。

*定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，若都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；若都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。

*必要条件：定义域关于原点对称。

*几何意义：偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。

*性质：奇函数在原点处有定义时，f(0)=0；偶函数在其定义域内关于y轴对称的区间上单调性相反，奇函数则相同。

*周期性：函数值重复出现的性质。

*定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。如果在周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做函数的最小正周期。

*常见结论：若f(x+a)=f(x+b)，则函数周期为|a-b|；若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1/f(x)等，也可推出函数的周期性。

*最值（极值）：函数在某个区间上的最大值和最小值。

*最值：函数在整个定义域或指定区间上的函数值的最大者和最小者。

*极值：函数在某点附近的局部最值。

*求法：利用函数的单调性、二次函数的顶点、基本不等式、导数等方法求解。

掌握这些基本性质，关键在于理解其定义的本质，并能熟练运用定义和相关方法进行判断、证明和应用。

1.4函数的图像及其变换

函数的图像是函数性质的直观体现。掌握常见函数的图像特征，并能进行图像变换，对于解题至关重要。

*基本初等函数的图像：如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图像，要做到“心中有图”。

*图像变换：

*平移变换：y=f(x)→y=f(x+a)+b（左右平