（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练专题训练：平面向量的最值范围问题（解析版）.docxVIP

专题训练：平面向量的最值范围问题

1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】D

【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、

、均为边长为的等边三角形，

当点位于正六边形的顶点时，取最大值，

当点为正六边形各边的中点时，取最小值，

即，所以，.

所以，.

的最小值为.故选：D.

2．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最小值为（）

A．12B．24C．36D．18

【答案】A

【解析】以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，垂直AD为y轴建立平面直角坐标系，

则，设，

则，

当时，取得最小值，最小值为12.故选：A

3．已知梯形ABCD中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（）

A．1B．C．D．

【答案】D

【解析】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，因为梯形ADBC中，，，，所以，不妨设，，

则，

所以当时，取得最小值，故选：D．

4．中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题可知，，所以是直角三角形，，

设内切圆半径为，则，解得，

设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，所以，，

则，，所以，

因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，

所以的取值范围是，故选：C

5．在直角中，斜边长为a，若所在平面内关于点A对称的两点P，Q满足，则的最大值为（）

A．0B．C．D．

【答案】A

【解析】因为，所以

，

当且仅当同向时取等号．故选：A．

6．如图，正方形ABCD内接于单位圆O，M，N分别为边AB，BC的中点，已知，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由题意可知，，，，

设，的夹角为，则，，

，，故选：B．

7．如图所示，点是正三角形外接圆圆上的动点，正三角形的边长为，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

，

因为正三角形的边长为12，所以，

，所以，

当同向时，此时取最大值为，

当反向时，此时取最小值为，

综上，的取值范围是.故选：C.

8．已知是的重心，若，，则的最小值是（）

A．4B．2C．D．

【答案】D

【解析】，，，为三角形的重心，，

，

从而的最小值是，故选：D

9．已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（）

A．3B．2C．D．

【答案】D

【解析】如图:令，，则，故.

因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.设，连接，因为，所以点在直线上.

因为，所以，即，所以.

结合图形可知，当时，即取得最大值，且.故选：D

10．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，所以，，

由平面向量模的三角不等式可得

.当且仅当与方向相反时，等号成立.因此，的最小值为.故选：C.

11．如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】如图建立平面直角坐标系，则，

∴，设，，

∴，又，

∴，解得，∴，

即的最小值为.故选：B.

12．在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（）

A．3B．C．D．2

【答案】C

【解析】构建如下直角坐标系：，

令，，由可得：，

则且，

所以当时，的最大值为.故选：C

13．中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（）

A．B．C．D．

【答