《线性代数》模拟试卷及答案.docxVIP

《线性代数》模拟试卷及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设向量组α?,α?,α?线性无关，向量β?=α?+α?,β?=α?+α?,β?=α?+α?，则向量组β?,β?,β?的秩为（）。

A.1

B.2

C.3

D.不能确定

2.设A是n阶可逆矩阵，B是n阶奇异矩阵（即|B|=0），则矩阵AB一定是（）。

A.可逆矩阵

B.奇异矩阵

C.单位矩阵

D.零矩阵

3.设A是n阶矩阵，且A2=A，则称A为幂等矩阵。若A是幂等矩阵，且|A|≠0，则必有（）。

A.A是单位矩阵E

B.A是零矩阵O

C.A是对角矩阵

D.A的特征值均为1

4.n元线性方程组Ax=b有无穷多解的充要条件是（）。

A.秩(A)=n

B.秩(A)=秩增广矩阵(A|b)n

C.b可以由A的列向量线性表示

D.A的某个列向量可以由其余列向量线性表示

5.二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+2x?x?+2x?x?+4x?x?经过正交变换x=Pz化为标准形f=z?2+5z?2-z?2，则矩阵A=[a??]中a??+a??+a??的值为（）。

A.1

B.5

C.-1

D.0

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

6.设A=[a??]是3阶矩阵，且|A|=2。若将A的第一列乘以3，第二列乘以2，第三列不变，得到矩阵B，则|B|=_______。

7.设向量α=(1,k,2)?与向量β=(0,1,-1)?线性相关，则实数k=_______。

8.非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是_______。

9.若1是矩阵A的一个特征值，且A的特征值全部为整数，则矩阵A2+E（E为单位矩阵）的一个特征值为_______。

10.设二次型f(x?,x?,x?)=x?x?+x?x?的矩阵形式为x?Ax，其中A是对称矩阵，则A=_______。

三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11.（本小题满分12分）设向量组α?=(1,1,1)?,α?=(1,2,3)?,α?=(1,3,t)?。

(1)当t为何值时，向量组α?,α?,α?线性无关？

(2)当t为何值时，向量组α?,α?,α?线性相关？并在此时，求出向量α?由α?,α?线性表示的表达式。

12.（本小题满分12分）设矩阵A=[(1,2,0),(0,1,a),(b,0,1)]，其中a,b为常数。

(1)求矩阵A的特征多项式f(λ)。

(2)若矩阵A有一个特征值为1，且A的秩为2，求a,b的值，并求A的另一个特征值。

13.（本小题满分12分）已知线性方程组

{x?+x?+x?=1

{2x?+(a+2)x?+3x?=3

{-3x?-x?+(a-2)x?=-3

(1)当a为何值时，该方程组有无穷多解？

(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解。

14.（本小题满分12分）设矩阵A=[(1,1),(0,1)]，计算矩阵A?。（提示：可用数学归纳法或二项式定理）

15.（本小题满分10分）设二次型f(x?,x?)=x?2+x?2+2x?x?。求一个正交变换x=Pz，将f化为标准形，并写出变换矩阵P。（只需写出P，无需验证正交性或化标准形的过程）

---

试卷答案

一、选择题

1.B

2.B

3.A

4.B

5.D

二、填空题

6.6

7.-2

8.秩(A)=秩(A|b)

9.2

10.[0,1,0],[1,0,0],[0,0,0]（或写为矩阵形式[[0,1/2,