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高中数学导数专项训练（必威体育精装版版）（含应用题型解析）

第一部分导数核心知识体系梳理

一、导数的基本概念与定义

（一）导数的定义

1.函数在某点的导数：设函数y=f(x)在点x_0的某个邻域内有定义，当自变量x在x_0处取得增量\Deltax（点x_0+\Deltax仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量\Deltay=f(x_0+\Deltax)-f(x_0)；如果\Deltay与\Deltax之比当\Deltax\to0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x_0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x_0处的导数，记作f(x_0)，即：

f(x_0)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}

也可记作y|_{x=x_0}，\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}或\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}。

1.导函数的定义：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，那么就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导。这时，对于开区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数f(x)，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数，记作y，f(x)，\frac{dy}{dx}或\frac{df(x)}{dx}。

（二）导数的几何意义与物理意义

1.几何意义：函数y=f(x)在点x_0处的导数f(x_0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x_0,f(x_0))处的切线的斜率。相应地，切线方程为：

y-f(x_0)=f(x_0)(x-x_0)

若f(x_0)不存在，则曲线在该点处的切线垂直于x轴；若f(x_0)=0，则曲线在该点处的切线平行于x轴。

1.物理意义：在物理学中，导数表示变量的变化率。例如，位移函数s(t)对时间t的导数s(t)表示瞬时速度；速度函数v(t)对时间t的导数v(t)表示瞬时加速度。

（三）可导与连续的关系

如果函数y=f(x)在点x_0处可导，那么函数y=f(x)在点x_0处一定连续；但反之，函数y=f(x)在点x_0处连续，却不一定在该点处可导。例如，函数f(x)=|x|在x=0处连续，但在x=0处不可导。

二、导数的计算法则与公式

（一）基本初等函数的导数公式

1.常数函数：(C)=0（C为常数）

2.幂函数：(x^\alpha)=\alphax^{\alpha-1}（\alpha为实数）

3.指数函数：(a^x)=a^x\lna（a0且a\neq1）；特别地，(e^x)=e^x

4.对数函数：(\log_ax)=\frac{1}{x\lna}（a0且a\neq1）；特别地，(\lnx)=\frac{1}{x}

5.三角函数：

(\sinx)=\cosx

(\cosx)=-\sinx

(\tanx)=\sec^2x

(\cotx)=-\csc^2x

(\secx)=\secx\tanx

(\cscx)=-\cscx\cotx

1.反三角函数：

(\arcsinx)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}（-1x1）

(\arccosx)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}（-1x1）

(\arctanx)=\frac{1}{1+x^2}

(\text{arccot}x)=-\frac{1}{1+x^2}

（二）导数的四则运算法则

设函数u=u(x)，v=v(x)都可导，则：

1.和差法则：(u\pmv)=u\pmv

2.乘法法则：(uv)=uv+uv；特别地，(Cu)=Cu（C为常数）

3.除法法则：(\frac{u}{v})=\frac{uv-uv}{v^2}（v\neq0）

（三）复合函数的求导法则

设函数u=\varphi(x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点u=\varphi(x)处可导，则复合函数y=f[\varphi(x)]在点x处可导，且其导数为：

y_x=y_u\cdotu_x

或写作：

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

复合函数求导的关键是正确分解复合结构，由外向内逐层求导，不遗漏、不重复。

（四）隐函数的求导法则

若变量x，y之间的函数关系是由方程F(x,y)=0所确定的，称为隐函数。求隐函数的导数，一般不需要显化函数关系，可直接对等式两边关于x求导，遇到含y的项时，将y看作x的函数，利用复合函数求导法则求导，最后解出y即可。

（五）参数方程确定的函数的求导法则

设参数方程\begin{cases}x=\varp