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高中圆满杯试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，则下列说法正确的是（）（2分）

A.a0且b^2-4ac0B.a0且b^2-4ac0

C.a0且b^2-4ac0D.a0且b^2-4ac0

【答案】A

【解析】函数在x=1处取得极小值，说明导数f(x)在x=1时为0且二阶导数f(x)0。由f(x)=2ax+b得2a+b=0，即b=-2a。代入判别式b^2-4ac得(-2a)^2-4ac=4a^2-4ac0，化简得a(a-c)0。由于极小值在x=1处，a必须大于0，故选A。

2.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=12，a_2+a_4+a_6=18，则该数列的公差d为（）（2分）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由等差数列性质，a_1+a_3+a_5=3a_3=12，得a_3=4。同理，a_2+a_4+a_6=3a_4=18，得a_4=6。故公差d=a_4-a_3=6-4=2。

3.设函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）（2分）

A.1B.3C.2D.0

【答案】B

【解析】函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和。当x在-2和1之间时，即-2≤x≤1，距离之和最小，为1-(-2)=3。

4.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）（2分）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】由a^2+b^2-c^2=ab，变形得a^2+b^2-ab=c^2。根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=ab/(2ab)=1/2，故角C=60°。

5.已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若dr，则直线l与圆O的位置关系是（）（2分）

A.相交B.相切C.相离D.重合

【答案】A

【解析】当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交。

6.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a、b为实数），则a+b的值为（）（2分）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】z=1+i，则z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i。代入方程得2i+a(1+i)+b=0，即(a+b)+(2+a)i=0。由于实部和虚部均为0，得a+b=0，2+a=0，解得a=-2，b=2，故a+b=0。

7.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a:b:c=3:4:5，则cosA的值为（）（2分）

A.1/2B.3/5C.4/5D.3/4

【答案】B

【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(16k^2+25k^2-9k^2)/(2×4k×5k)=32k^2/40k^2=4/5。

8.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则方程f(x)=0的实根个数为（）（2分）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】f(x)=x^3-3x^2+2，求导得f(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-2，故f(x)=0有三个实根。

9.在直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，则点A到直线AB的距离为（）（2分）

A.1B.√2C.√3D.2

【答案】D

【解析】直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，即倾斜角为135°。直线方程为y-2=-1(x-1)，即x+y-3=0。点A到直线AB的距离d=|1+2-3|/√(1^2+1^2)=0/√2=0。

10.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为（）（2分）

A.{1}B.{1,-1}C.{0}D.{0,1,-1}

【答案】D

【解析】A={1,2}。若A∪B=A，则B?A。当a=0时，B=?，满足条件；当a≠0时，B={1/a}，故1/a∈{1,2}，得a∈{1,-1}。综上，a∈{0,1,-1}。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）

A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√b

C.若a^2b^2，则abD.若ab0，则1/a1/b

【答案】B、D

【解析】A错误，如a=1，b=-2；B正确，ab0时，√a√b；C错误，如a=-2，b=1；D正确，ab0时，1/a1/b。

2.下列函数中，在其定义域内单调递增的有（）（4分）

A.y=x^2B.y=2^xC.y=log_2xD.y=sinx

【答案】B、C

【解析】y=x^2在(0,+∞)上单调递增；y=2^x单调递增；y=log_2x单调递增